1、专升本高等数学二（无穷级数）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 若 an 发散，则 ( )2 下列各选项正确的是 ( )3 若级数 收敛，则下列级数中收敛的是 ( )4 下列级数中收敛的是( )5 下列级数中，绝对收敛的是 ( )6 当( )时，无穷级数 (一 1)nn(n0) 收敛（A）U n1 n(n=1，2，)（B） n=0（C） n1 n(n=1，2，)且 =0（D） n1 n(n=1，2，)7 下列级数中，绝对收敛的是 ( )8 设幂级数 anxn 在 x=2 处收敛，则该级数在 x=一 1 处必定 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不能确定9 级数 an3
2、n 收敛，则级数 (一 1)nan2n ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性不确定二、填空题10 级数 的和为_11 已知级数 =_12 若级数 收敛，则 a=_13 幂级数 xn 的收敛半径 R 为_14 已知 =_15 若幂级数 anxn 在 x=一 3 处条件收敛，则收敛半径 R 为_16 幂级数 的收敛区间为_17 判断 的敛散性18 判断 的敛散性18 判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?19 ；20 (a0)21 判断 的敛散性22 求级数 2nx2n 的收敛半径与收敛域23 求幂级数 xn 的收敛域24 若 an(x 一 1)n，求 an2
3、5 求幂级数 1+ (x1) 的和函数 f(x)及其极值26 将 lnx 展成 x 一 2 的幂级数27 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数专升本高等数学二（无穷级数）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 若 ，故 A 正确，由 发散可见 B 项不成立，C 项不成立，由( 1)n 发散知 D 项不成立【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 A【试题解析】 D 项成立的前提条件是 n、 n 是正项级数，D 错，故选 A【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 据题意可知， 0，由级数收敛的必要条件可知，A 和 D 选项不正确；对于 C 选项，举反
4、例 可知，C 错误，故选 B【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A 选项，因 发散，故 A 项发散；对于 B 选项，因 的 p级数，因 p 1，发散，但 满足莱布尼茨定理，故 B 项条件收敛；对于 C 选项，因 的等比级数，因q1，故收敛，故原级数绝对收敛；对于 D 选项，它比调和级数少前面 2 项，由级数敛散性质知不改变级数敛散性，故发散，但 满足莱布尼茨定理，故 D 项条件收敛【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数的莱布尼茨定理可知，级数 (一 1)nn(n0)收敛需同时满足 n1
5、 n， =0 两个条件，故选 C【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 发散，即 A 不绝对收敛 是公比 q1 的等比级数，所以发散，即 B 不绝对收敛 1 的 p 级数，所以收敛，即 C 绝对收敛 不满足级数收敛的必要条件，所以发散，即 D 不绝对收敛【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【试题解析】 anxn 在 x=2 处收敛，则 R2，所以 x=一 1 在收敛区间内，故该级数在 x=一 1 处必定绝对收敛【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 C【试题解析】 an3n 收敛也就是 anxn 收敛在 x=3 处收敛，则 R3，所以 x=一 2 在收敛区间内，故级数 (
6、1) nan2n 绝对收敛【知识模块】 无穷级数二、填空题10 【正确答案】 一 2【试题解析】 【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 8【试题解析】 因为 a2n1 =a1a 3+a 2n1 +=5；且 (一 1)n1 a n=a1 一a2+a3 一 a4+a2n1 一 a2n+=2；所以 (一 1)n1 an=8【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 0【试题解析】 因为级数 收敛，由此可知 a=0【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 +【试题解析】 由 =0，所以级数的收敛半径 R=+【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 2e【试题解析】 【知识模块】 无穷级数15 【正确
7、答案】 3【试题解析】 幂级数 anxn 在 x=一 3 处条件收敛，说明 x=一 3 是该幂级数的收敛区间端点，故 R=3【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 (一 5，5)【试题解析】 ，所以收敛半径为 R=5，收敛区间为(一 5，5)【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 因为 ，而级数 发散，由比较：判别法知，所给级数是发散的【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 原级数为交错级数，并化为 【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 级数为任意项级数，因 ，用比值法判别 的敛散性 故 收敛，由比较判别法知原级数为绝对
8、收敛【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 收敛【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 所以收敛半径 R= 当 x= 时，级数变为 ，发散；当 x= 时，级数变为 ，收敛因此原级数的收敛域为 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 所以 an= 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 f (x)= (一 1)nx2n1 = 上式两边从 0 到 x 积分，得 f(x)一f(0)=一 0x ln(1+x2)由 f(0)=1，得 f(x)=1 一 ln(1+x2)，(x1) 令 f(x)=0，求得唯一驻点 x=0由于 f(x)= ，f (0)=一 10，可见 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值 f(0)=1【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数
