1、专升本（高等数学一）模拟试卷 105 及答案与解析一、选择题1 当 x0 时，下列变量中为无穷小的是（A）lg|x|（B）（C） cotx（D）2 下列等式成立的是3 设函数 f(x)=2lnx+ex，则 f(2)等于（A）e（B） 1（C） 1+e2（D）ln24 设函数 f(x)=(1+x)ex，则函数 f(x)（A）有极小值（B）有极大值（C）既有极小值又有极大值（D）无极值5 -11x4dx=6 下列各式中正确的是7 下列反常积分收敛的是8 方程 x2+y2 一 z2=0 表示的二次曲面是（A）球面（B）旋转抛物面（C）圆柱面（D）圆锥面9 函数 在(-3，3)内展开成 x 的幂级数是
2、10 微分方程 y“一 2y=ex 的特解形式应设为（A）y*=Ae x（B） y*=Axex（C） y*=2ex（D）y*=e x二、填空题11 设 f(x)= 若 f(x)在 x=1 处连续，则 a=_12 极限13 求 dy=_14 15 y=y(x)是由方程 xy=ey-x 确定的函数，则 dy=_16 17 设18 若 D 是中心在原点、半径为 a 的圆形区域，则 (x2+y2)2d=_19 幂级数 的收敛区间为_20 方程 y“+y+y=2xe-x 的特解可设为 y*=_21 设 f(x)= 求 f(x)的间断点22 设 且 f(0)存在，求 f(0)23 给定曲线 y=x3 与直
3、线 y=px-q(其中 p0)，求 p 与 q 为何关系时，直线 y=px-q是 y=x3 的切线24 25 求幂级数 的收敛半径和收敛区间26 27 计算 其中 D 是由 y=x2，y=4x 2，y=1 围成28 专升本（高等数学一）模拟试卷 105 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 x0 时，lg|x|-， 无极限， cotx， 故选D.2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=2lnx+ex于是 f(x)= 故 f(2)=1+e24 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x)=(1+x)ex，且处处可导。于是，f(x)=e x+
4、(1+x).ex=(x+2)ex，令f(x)=0 得驻点 x=一 2；又 x一 2 时，f(x)0；x一 2 时，f(x) 0；从而 f(x)在 x=一 2 处取得极小值且 f(x)只有一个极值5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 对于选项 A当 0x1 时，x 3x 2，则 01x3dx 01x2dx对于选项B，当 1x2 时，lnx (lnx) 2，则 12lnxdx 12(lnx)2dx对于选项 C，对于选项 D， 不成立，因为当 x=0 时， 无意义7 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A， 不存在，此积分发散；对于选项 B 不存在，此积分发散；对于
5、选项 C， 此积分发散；对于选项D， 故此积分收敛8 【正确答案】 D【试题解析】 因方程可化为z 2=x2+y2，由方程可知它表示的是圆锥面9 【正确答案】 B【试题解析】 10 【正确答案】 A【试题解析】 由方程知其特征方程为，r 2-2=0，有两个特征根 又自由项f(x)=ex，=1 不是特征根，故特解 y*可设为 Aex二、填空题11 【正确答案】 ,k=0，12，【试题解析】 且 f(1)=1,所以 f(x)在 x=1 连续，应有 1=sina，12 【正确答案】 e -1【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 一 3t2(1+t)2【试题解析】 一 3
6、t2(1+t)215 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，有 y+xy=e y-x(y一 1)16 【正确答案】 【试题解析】 17 【正确答案】 【试题解析】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 (一 2，2【试题解析】 则收敛半径R=2，而 x=2 时，级数 收敛x=一 2 时级数 所以收敛区间为(一 2，2 20 【正确答案】 (Ax+B)e -x(A、B 为待定常数)【试题解析】 方程 y“+y+y=0 的特征方程为 r2+r+1=0，特征根为 方程的非齐次项为 2xe-x,一 1 不是特征根，故原方程有特解 y*=(Ax+B)e-x，A、B 为待定常数21 【正确答案】 由题意知，使 f(x)不成立的 x 值，均为 f(x)的间断点故 sin(x 一3)=0 或 x 一 3=0 时 f(x)无意义，则间断点为x 一 3=k(k=0，1 ，2，)即 x=3+k(k=0，1，2)22 【正确答案】 23 【正确答案】 由题意知，在切点处有 x 3=px 一 q，两边对 x 求导得 3x2=p，24 【正确答案】 25 【正确答案】 26 【正确答案】 27 【正确答案】 因 D 关于 y 轴对称。且 xey 是关于 x 的奇函数 x 2y2 是关于 x 的偶函数，28 【正确答案】
