1、专升本（高等数学一）模拟试卷 113 及答案与解析一、选择题1 函数 f(x)在点 x0 处有定义是 存在的 【 】（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）以上都不对2 设函数 在 x=0 连续，则 k 等于 【 】（A）e 2（B） e2（C） 1（D）03 若 ，则 【 】（A）a= 9， b=14（B） a=1，b=6（C） a=2，b=0（D）a= 2， b=54 曲线 【 】（A）有一个拐点（B）有两个拐点（C）有三个拐点（D）无拐点5 x2dx 【 】6 已知 (2x3x 2)dx=0，则 k= 【 】（A）0 或 1（B） 0 或1（C） 0 或 2（D）1 或17 由曲
2、线 ，直线 y=x，x=2 所围面积为 【 】8 设 z=x33xy，则它在点(1，0)处 【 】（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）无法判定9 若 【 】（A）收敛（B）发散（C）收敛且和为零（D）可能收敛也可能发散10 微分方程 y2y=x 的特解应设为 【 】（A）Ax（B） Ax+B（C） Ax2+Bx（D）Ax 2+Bx+C二、填空题11 设 若 f(x)在 x=1 处连续，则 a=_12 极限 =_13 ，求 dy=_14 _15 y=y(x)是由方程 xy=eyx 确定的函数，则 dy=_16 =_17 设 =_18 若 D 是中心在原点、半径为 a 的圆形区域，则
3、 =_19 幂级数 的收敛区间为_20 方程 y+y+y=2xex 的特解可设为 y*=_21 确定函数 f(x，y)=3axyx 3y 3(a0)的极值点22 求23 讨论级数 的敛散性24 求25 证明：e x1+x(x0)26 设 x0 时 f(x)可导，且满足 f(x)=l+ ，求 f(x)27 求方程 y2y+5y=e x 的通解28 设 (提示：利用二重积分交换顺序去计算)专升本（高等数学一）模拟试卷 113 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了判断函数极限的存在性的知识点极限是否存在与函数在该点有无定义无关2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了函
4、数在一点处的连续性的知识点又因 f(0)=k，f(x)在 x=0 处连续，故 k=e23 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了洛必达法则的知识点因此 4+2a+b=0，即2a+b=4 或 b=42a， 所以 a=1，而b= 64 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了曲线的拐点的知识点则 y在定义域内恒不等于 0，所以无拐点5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了不定积分的知识点6 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了定积分的知识点 0k(2x3x 2)dx=(x2x 3)|0k=k2k 3= k2(1k)=0 ，所以 k=0 或 k=17 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查
5、了曲线所围成的面积的知识点曲线 y= 与直线y=x，x=2 所围成的区域 D 如下图所示，8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了函数在一点处的极值的知识点 =3x23， =10，显然点(1，0)不是驻点，故其处无极值9 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了数项级数收敛的必要条件的知识点收敛的必要条件，但不是充分条件，从例子发散，即可知应选 D10 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点因 f(x)=x 为一次函数，且特征方程为 r2 2r=0，得特征根为 r1=0，r 2=2，于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx二、填空题11 【正确答案
6、】 【试题解析】 本题考查了函数在一点处的连续性的知识点且 f(1)=1，所以 f(x)在 x=1连续，应有 1=sina，所以 a= 12 【正确答案】 e 1【试题解析】 本题考查了 的应用的知识点13 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了一元函数的微分的知识点14 【正确答案】 3t 2(1+t)2【试题解析】 本题考查了由参数方程确定的函数的导数的知识点=3t 2(1+t)215 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了隐函数的微分的知识点方程两边对 x 求导，注意 y 是x 的函数，有 y+xy=eyx (y1) ， 注：由一阶微分的形式不变形可求解如下：ydx+xdy=e yx (
7、dydx)，即(e yx x)dy=(y+ eyx )dx，所以 16 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了不定积分的换元积分的知识点17 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点18 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点19 【正确答案】 (2，2【试题解析】 本题考查了幂级数的收敛区间的知识点则收敛半径 R=2，而 x=2时，级数 收敛，x=2 时，级数 发散，所以收敛区间为(2， 2，注：不考虑端点时，收敛区间可写为(2，2)20 【正确答案】 (Ax+B)e x (A、B 为待定常数)【试题解析】 本题考查了二阶线性微分方程的特
8、解的知识点方程 y+y+y=0 的特征方程为 r2+1=0，特征根为 ，方程的非齐次项为 2xex ，1不是特征根，故原方程有特解 y*=(Ax+B)ex ，A、 B 为待定常数21 【正确答案】 在(0，0)点，0，所以(0，0)不是极值点在(a，a) 点， =6a0)，故(a，a) 是极大值点22 【正确答案】 23 【正确答案】 因 ，所以级数收敛24 【正确答案】 25 【正确答案】 对 F(x)=ex 在0，x上使用拉格朗日中值定理得 F(x)F(0)=F()x，0x，因 F()=e1，即 1，故 exx+1(x0)注：本题也可用单调性证明记 G(x)=ex1x，则 G(x)=ex1
9、，由 x0 知 G(x)0，所以G(x)单调增加，由 G(0)=0，知 G(x)G(0)=0，即 ex1x0，所以 ex1+x26 【正确答案】 因 f(x)=1+ 1xf(t)dt 可导，在该式两边乘 x 得 xf(x)=x+1xf(t)dt，两边对 x 求导得 f(x)+ xf(x)=l+f(x)，所以 f(x)= ，则 f(x)=lnx+C，再由 x=1 时，f(1)=1，得 C=1，故 f(x)=lnx+127 【正确答案】 y2y+5y=0 的特征方程为，r 22r+5=0，故特征根为 r=12i，非齐次项的特解可设为 y=Aex，代入原方程得 A= ，所以方程的通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+ ex28 【正确答案】 将 f(x)代入有 0af(x)dx=0adx0ax ey(2ay) dy=0ady0ax ey(2ay)dx=0a(ay)e y(2ay) dy=0a(ay)e a2(a y)2 dy= 0aea2e(ay)2 d(ay)2= ea2e (a y)2 |0a= ea2(ea2 e 0）= (ea21)
