1、专升本（高等数学一）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题1 设函数 为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）不存在2 设 f(x)在点 x0 处连续，则下列命题中正确的是( )（A）f(x)在点 x0 必定可导（B） f(x)在点 x0 必定不可导（C） 必定存在（D） 可能不存在3 等于( ) （A）2（B） 1（C） 1/2（D）04 设函数 y=f(x)的导函数，满足 f(-1)=0，当 x-1 时，f(x) 0；x-1 时，f(x)0则下列结论肯定正确的是( )（A）x=-1 是驻点，但不是极值点（B） x=-1 不是驻点（C） x=-1 为极小值点（D）x=-1 为极大值点5 设
2、函数 f(x)=2sinx，则 f(x)等于( ) （A）2sinx（B） 2cosx（C） -2sinx（D）-2cosx 6 设 f(x)为连续函数，则 等于( )7 方程 x2+y2-z=0 表示的二次曲面是( )（A）椭球面（B）圆锥面（C）旋转抛物面（D）柱面8 设 z=ln(x2+y)，则 等于( ) 9 设区域 ，将二重积分在极坐标系下化为二次积分为( )10 设 ( )（A）必定收敛（B）必定发散（C）收敛性与 a 有关（D）上述三个结论都不正确二、填空题11 12 13 14 15 16 17 18 幂级数 的收敛半径为_19 微分方程 y+9y=0 的通解为 _20 曲线
3、y=x3-6x 的拐点坐标为_21 设 y=x2+sinx，求 y22 求曲线 的渐近线23 计算不定积分24 设 z=z(x，y)由 x2+y3+2z=1 确定，求25 计算 ，其中区域 D 满足 x2+y21，x0 ，y026 求由曲线 y=3-x2 与 y=2x，y 轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积27 求 ，其中区域 D 是由曲线 y=1+x2 与 y=0，x=0，x=1 所围成28 将 f(x)=ln(1+x2)展开为 x 的幂级数专升本（高等数学一）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为极限与左
4、极限、右极限的关系 由于 f(x)为分段函数，点 x=1 为 f(x)的分段点，且在 x=1 的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限 2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系 函数 f(x)在点 x0可导，则 f(x)在点 x0 必连续 函数 f(x)在点 x0 连续，则 必定存在 函数 f(x)在点 x0 连续，f(x)在点 x0 不一定可导 函数 f(x)在点 x0 不连续，则 f(x)在点 x0 必定不可导 这些性质考生应该熟记由这些性质可知本例应该选 C3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小性质 注
5、意：极限过程为 x，因此 不是重要极限形式!由于 x时，1/x 为无穷小，而sin2x 为有界变量由无穷小与有界变量之积仍为无穷小的性质可知 4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为极值的第一充分条件由 f(-1)=0，可知 x=-1 为 f(x)的驻点，当 x-1 时，f(x)0；当 x-1 时，f(x)1，由极值的第一充分条件可知 x=-1 为 f(x)的极小值点，故应选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为导数的运算f(x)=2sinx，f(x)=2(sinx)=2cosx，可知应选 B6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱
6、公式 可知应选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为二次曲面的方程 将 x2+y2-z=0 与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为偏导数的计算 由于 故知应选 A9 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分 由于在极坐标系下积分区域 D 可以表示为 0，0ra 因此 故知应选 A10 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查的知识点为无穷小的性质 12 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查的知识点为极限的运算 13 【正确答
7、案】 【试题解析】 本题考查的知识点为函数商的求导运算 考生只需熟记导数运算的法则14 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查的知识点为二阶导数的运算 f(x)=(x 2)=2x， f“(x)=(2x)=215 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的换元法 16 【正确答案】 2x+3y【试题解析】 本题考查的知识点为偏导数的运算 由于 z=x2+3xy+2y2-y，可得 17 【正确答案】 F(sinx)+C【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的换元法 由于f(x)dx=F(x)+C，令u=sinx，则 du=cosxdx，18 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查的知
8、识点为幂级数的收敛半径 所给幂级数为不缺项情形 因此收敛半径为 019 【正确答案】 y=Ce -9x【试题解析】 本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程 分离变量 两端分别积分 lny=-9x+C1，y=Ce -9x20 【正确答案】 (0，0)【试题解析】 本题考查的知识点为求曲线的拐点 依求曲线拐点的一般步骤，只需 (1)先求出 y“ (2) 令 y“=0 得出 x1，xk (3)判定在点 x1，x2，xk 两侧，y“的符号是否异号若在 xk 的两侧 y“异号，则点(xk，f(xk)为曲线 y=f(x)的拐点 y=x 3-6x， y=3x 2-6，y“=6x 令 y“=0，得到 x=0
9、当 x=0 时，y=0 当x0 时，y“0；当 x0 时，y“0因此点(0，0)为曲线 y=x3-6x 的拐点 本题出现较多的错误为：填 x=0这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚拐点的定义是：连续曲线 y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点其一般形式为(x0， f(x0)，这是应该引起注意的，也就是当判定 y“在 x0 的两侧异号之后，再求出 f(x0)，则拐点为(x0， f(x0) 注意极值点与拐点的不同之处 !21 【正确答案】 由导数的四则运算法则可知y=(x+sinx)=x+(sinx)=1+cosx22 【正确答案】 由于 可知 y=0 为所给曲线的水平渐近线 由于
10、，可知 x=2 为所给曲线的铅直渐近线【试题解析】 本题考查的知识点为求曲线的渐近线 注意渐近线的定义，只需分别研究水平渐近线与铅直渐近线： 若 ，则直线 y=c 为曲线 y=f(x)的水平渐近线； 若 ，则直线 x=x0 为曲线 y=f(x)的铅直渐近线 有些特殊情形还需研究单边极限 本题中考生出现的较多的错误是忘掉了铅直渐近线23 【正确答案】 解：【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分运算只需将被积函数进行恒等变形，使之成为标准积分公式形式的函数或易于利用变量替换求积分的函数24 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数 若 z=z(x，y)由方程F(x，y，
11、z)=0 确定，求 z 对 x，y 的偏导数通常有两种方法： 一是利用偏导数公式，当 需注意 Fx，FyFz 分别表示 F(x，y，z)对 x，y，z 的偏导数上面式 F(z，y，z)中将 z，y，z 三者同等对待，各看做是独立变元 二是将 F(x，y， z)=0 两端关于 x 求偏导数，将 z=z(x，y)看作为中间变量，可以解出 同理将 F(x， y，z)=0 两端关于 y 求偏导数，将 z=z(x，y)看作中间变量，可以解出25 【正确答案】 积分区域 D 如图 2-1 所示 解法 1 利用极坐标系 D 可以表示为： 解法 2 利用直角坐标系 D 可以表示为： 【试题解析】 本题考查的知
12、识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算 26 【正确答案】 所给曲线围成的平面图形如图 1-3 所示 解法 1 利用定积分求平面图形的面积 由于的解为 x=1，y=2 ，可得解法 2 利用二重积分求平面图形面积 由于 的解为 x=1，y=2 ， 求旋转体体积与解法 1 同【试题解析】 本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积本题也可以利用二重积分求平面图形的面积27 【正确答案】 积分区域 D 如图 1-4 所示 D 可以表示为 0x1，0y1+x 2【试题解析】 本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序如果将二重积分化为先对 x 后对 y 的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序28 【正确答案】 由于 因此 【试题解析】 本题考查的知识点为将函数展开为幂级数 考试大纲中指出“会运用ex，sinx ，cosx，ln(1+x)， 的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为x 或(x-x0)的幂级数”这表明本题应该将 ln(1+x2)变形认作 ln(1+x)的形式，利用间接法展开为 x 的幂级数 本题中考生出现的常见错误是对 ln(1+x2)关于 x 的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的
