1、专升本（高等数学一）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题1 （A）1（B） 1/m2（C） m（D）m 22 设 f(x)在点 x0 处连续，则下面命题正确的是( )3 设 y=2-x，则 y等于( )（A）2 -xx（B） -2-x（C） 2-xln2（D）-2 -xln24 设 f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是( )5 设 f(x)为连续的奇函数，则 等于( )（A）2af(x)（B）（C） 0（D）f(a)-f(-a)6 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线 y=f(x)的所有切线中( ) （A）至少有一条平行于 x
2、轴（B）至少有一条平行于 y 轴（C）没有一条平行于 x 轴（D）可能有一条平行于 y 轴7 设 f(x)为连续函数，则 等于( )8 设 z=ysinx，则 等于 ( )（A）-cosx（B） -ycosx（C） cosx（D）ycosx9 方程 y“-3y+2y=xe2x 的待定特解 y*应取( )（A）Axe 2x（B） (Ax+B)e2x（C） Ax2e2x（D）x(Ax+B)e 2x10 若 收敛，则下面命题正确的是( )二、填空题11 设 y=sin2x，则 dy=_12 设 y=2x+sin2，则 y=_13 函数 y=x3-2x+1 在区间1，2上的最小值为_14 15 设 z
3、=sin(y+x2)，则 16 微分方程 y“+y=0 的通解为 _17 过点 M0(1，-2，0) 且与直线 垂直的平面方程为_18 设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为_19 广义积分 20 设区域 D 由 y 轴，y=x，y=1 所围成，则 21 求22 设 y=xcosx，求 y23 计算xcosx 2dx24 设 z=z(x，y)由方程 ez-xy2+x+z=0 确定，求 dz25 26 计算 其中区域 D 由 y=x，y=0，x 2+y2=1 围成的在第一象限内的区域27 在曲线 上求一点 M(x，y)，使图 9-1 中阴影部分面积S1，S2
4、 之和 S1+S2 最小28 证明： 在区间(0，1)内有唯一实根专升本（高等数学一）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小代换解法 1 由可知解法 2 当 x0 时，sinxx，sinmx mx，因此2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系 连续性的定义包含三个要素：若 f(x)在点 x0 处连续，则 (1)f(x) 在点 x0 处必定有定义； (2) 必定存在； (3) 由此可知所给命题C 正确，A，B 不正确 注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可
5、导，可知命题 D 不正确故知，应选 C 本题常见的错误是选 D这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系 若 f(x)在点 x0 处可导，则 f(x)在点 x0 处必定连续 但是其逆命题不成立3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则 由于 y=2 -x Y=2-xln2(-x)=-2-xln2 考生易错误选 C，这是求复合函数的导数时丢掉项而造成的 !因此考生应熟记：若 y=f(u)，u=u(x) ，则 不要丢项4 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为：若 f(x)可积分，则定积分的值为常数；可变上限积分求导公式的运用注意到 A 左端为定积分，定积
6、分存在时，其值一定为常数，常量的导数等于零因此 A 不正确由可变上限积分求导公式可知 B 正确C、D 都不正确5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的对称性 由定积分的对称性质可知：若 f(x)为-a， a上的连续的奇函数，则 可知应选 C6 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义由题设条件可知 f(x)在0，1上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点 (0，1)，使 f()=0这表明曲线 y=f(x)在点( ，f()处的切线必定平行于 x 轴，可知 A 正确，C 不正确如果曲线 y=f(x)在点(，f()处的切线平行于 y 轴，其中
7、 (0，1)，这条切线的斜率为，这表明 f()=为无穷大，此时说明 f(x)在点 x= 不可导因此可知B，D 都不正确本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选 A有些考生选 B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的换元积分法、牛-莱公式 解法 1 利用定积分的换元积分法令 t=2x，则 dt=2dx， 可知应选 B 解法 2 利用凑微分法 可知应选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为高阶偏导数 由于 z=ysinx，因此 可知应选 C9 【正确答案】 D【试题解析】 本题
8、考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解 y*的取法：若自由项 f(x)=Pn(x)ex，当 不为特征根时，可设特解为 y*=Qn(x)e x， Qn(x)为x 的待定 n 次多项式 当 为单特征根时，可设特解为 y*=xQn(x)e x， 当 为二重特征根时，可设特解为 y*=x2Qn(x)e x 所给方程对应齐次方程的特征方程为 r2-3r+2=0 特征根为 r1=1，r2=2 自由项 f(x)=xe2x，相当于 =2 为单特征根又因为 Pn(x)为一次式，因此应选 D10 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为级数的基本性质 由级数收敛的必要条件：若收敛，则必有 ，可知
9、D 正确而 A，B，C 都不正确 本题常有考生选取 C，这是由于考生将级数收敛的定义 存在，其中误认作是 un，这属于概念不清楚而导致的错误二、填空题11 【正确答案】 2cos2xdx【试题解析】 这类问题通常有两种解法解法 1 利用公式 dy=ydx，先求 y，由于 y=cos2x(2x)2cos2x，因此 dy=2cos2xdx解法 2 利用微分运算公式dy=d(sin2x)=cos2xd(2x)=2cos2xdx12 【正确答案】 2 xln2【试题解析】 本题考查的知识点为初等函数的求导运算 本题需利用导数的四则运算法则求解 Y=(2 x+sin2)=(2x)+(sin2)=2xln
10、2 本题中常见的错误有 (sin2)=cos2 这是由于误将 sin2 认作 sinx，事实上 sin2 为一个常数，而常数的导数为0，即 (sin2)=0 相仿(cos3)=0，(ln5)=0，(e 1/2)=0 等 请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为 013 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题 通常求解的思路为： 先求出连续函数 f(x)在(a ，b) 内的所有驻点 x1,，xk 比较 f(x1)，f(x2)，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为 f(x)在a，b上的最大( 小)值，相应的 x 即为，(
11、x)在a，b上的最大(小) 值点 由 y=x3-2x+1，可得 Y=3x 2-2 令y=0 得 y 的驻点为 ，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当 x(1，2)时有 Y=3x 2-20 可知 y=x3-2x+1 在1，2上为单调增加函数，最小值点为 x=1，最小值为 f(1)=0 注： 也可以比较 f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为 f(x)在1，2上的最小值 本题中常见的错误是，得到驻点 和 之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内而是错误地比较 从中确定 f(x)在1，2上的最小值则会得到错误结论14 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为定积分计算 可以利用变量替换，令
12、u=2x，则du=2dx，当 x=0 时，a=0；当 x=1 时，u=2因此 或利用凑微分法 本题中考生常在最后由于粗心而出现错误如 这里中丢掉第二项15 【正确答案】 2xcos(y+x 2)【试题解析】 本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算 可以令 u=y+x2，得z=sinu，由复合函数偏导数的链式法则得 16 【正确答案】 y=C1+C2e -x，其中 C1，C2 为任意常数【试题解析】 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解 二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解 微分方程为 y“+y=0 特征方程为 r 3+r=0 特
13、征根 r1=0 r2=-1 因此所给微分方程的通解为 y=C1+C2e -x， 其牛 C1，C2 为任意常数17 【正确答案】 3(x-1)-(y+2)+z=0( 或 3x-y+z=5)【试题解析】 本题考查的知识点为平面与直线的方程由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程所给直线 l 的方向向量 s=(3，-1，1)若所求平面 垂直于直线 l，则平面 的法向量 ns，不妨取 n=s=(3，-1，1)则由平面的点法式方程可知3(x-1)-y-(-2)+(z-0)=0，即 3(x-1)-(y+2)+z=0为所求平面方程或写为 3x-y+z-5=0上述两个结果都正确，前者 3(x-1)-
14、(y+2)z=0 称为平面的点法式方程，而后者 3x-y+z-5=0 称为平面的一般式方程18 【正确答案】 y=f(1)【试题解析】 本题考查的知识点有两个：一是导数的几何意义，二是求切线方程设切点为(x0，f(x0)，则曲线 y=f(x)过该点的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)由题意可知 x0=1，且在(1，f(1)处曲线 y=f(x)的切线平行于 x 轴，因此应有f(x0)=0，故所求切线方程为y=f(1)=0本题中考生最常见的错误为：将曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程写为y-f(x0)=f(x)(x-x0)而导致错误本例中错误地写为y-f(1)=f(
15、x)(x-1)本例中由于 f(x)为抽象函数，一些考生不习惯于写 f(1)，有些人误写切线方程为y-1=019 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查的知识点为广义积分，应依广义积分定义求解20 【正确答案】 1/2【试题解析】 本题考查的知识点为计算二重积分其积分区域如图 1-2 阴影区域所示 可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之 解法 1 由二重积分的几何意义可知 表示积分区域 D 的面积，而区域 D 为等腰直角三角形，面积为 1/2，因此 解法 2 化为先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分 作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交，沿 y 轴正向看，入口曲线为 y=x，
16、作为积分下限；出口曲线为 y=1，作为积分上限，因此 xy1 区域 D 在 x 轴上的投影最小值为 x=0，最大值为 x=1，因此 0x1 可得知 解法 3 化为先对 x 积分，后对 Y 积分的二次积分 作平行于 x 轴的直线与区域 D 相交，沿 x 轴正向看，入口曲线为 x=0，作为积分下限；出口曲线为 x=y，作为积分上限，因此 0xy 区域 D 在 y 轴上投影的最小值为 y=0，最大值为 y=1，因此 0y1 可得知 21 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为极限的四则运算法则 由于分母中含有根式，可以先将分子、分母同乘以22 【正确答案】 y=xcosx，则y=cosx-xsinx23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为被积函数为分段函数的定积分当被积函数为分段函数时，应将积分区间分为几个子区间，使被积函数在每个子区间内有唯一的表达式26 【正确答案】 利用极坐标计算，27 【正确答案】 28 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为闭区间上连续函数的零点定理；利用导数符号判定函数的单调性证明方程 f(x)=0 在区间 (a，b)内有唯一实根，往往分两步考虑：(1)根的存在性：常利用连续函数在闭区间上的零点定理证明(2)根的唯一性：常利用导数符号判定函数在给定的区间单调增加或减少
