1、专升本（高等数学一）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题1 下列函数中在点 x=0 处可导的是( )（A）（B） |x|（C）（D）|x| 22 设 f(x)在点 x0 处取得极值，则( )（A）f(x 0)不存在或 f(x0)=0（B） f(x0)必定不存在（C） f(x0)必定存在且 f(x0)=0（D）f(x 0)必定存在，不一定为零3 下列等式不成立的是( )4 点(-1，-2，-5) 关于 yOz 平面的对称点是( )（A）(-1，2 ，-5)（B） (-1，2，5)（C） (1，2，5)（D）(1 ，-2，-5)5 设 I1= ，I 2= ，则( )（A）I 1I 2 I3（B）
2、 I1I 3I 2（C） I3I 1I 2（D）I 2I 1 I36 函数 y=x+ 的单调递减区间为( )（A）(-，-2)，(2 ，+)（B） (-2，2)（C） (-，0)，(0，+)（D）(-2，0)，(0，2)7 在空间中，方程 y=x2 表示( )（A）xOy 平面的曲线（B）母线平行于 Oy 轴的抛物柱面（C）母线平行于 Oz 轴的抛物柱面（D）抛物面8 下列反常积分收敛的是( )（A） 1+xdx（B） 1+x2dx（C）（D）9 幂级数 的收敛半径为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设 ( )（A）1（B） -1（C） 0（D）2二、填空题11 幂级数 的收敛半
3、径为_。12 设 f(x)=esinx，则 =_。13 已知当 x0 时， -1 与 x2 是等价无穷小，则 a=_。14 y“+8y=0 的特征方程是 _。15 若 f(ex)=1+e2x，且 f(0)=1，则 f(x)=_。16 已知 f(0)=1，f(1)=2 ，f(1)=3，则 01xf“(x)dx=_。17 空间直角坐标系中方程 x2+y2=9 表示的曲线是_。18 直线 的方向向量为_。19 设 z=x2y+siny， =_。20 已知 01f(x)dx=，则 01dx01f(x)f(y)dy=_。21 设 ，求 f(x)。22 计算23 设 f(x)=e3x，求24 试证：|ar
4、ctanb-arctana|b-a|25 计算 ，其中 D 为 x2+y22y 与 x0 的公共部分26 判定 的敛散性。27 已知 z= ，y=e t， x=t3+t，求 ，dz 。28 设 f(x)为0，1上的连续函数，试证 eyf(x)dx=01(e-ex2)f(x)dx。专升本（高等数学一）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 在 x=0 处无定义不可导，|x| 在 x=0 处不可导；|x| 2=x2可导，故选 D。2 【正确答案】 A【试题解析】 若点 x0 为 f(x)的极值点，可能为两种情形之一： (1)若 f(x)在点 x0 处可导，由极值
5、的必要条件可知 f(x0)=0； (2) 如 f(x)=|x|在点 x=0 处取得极小值，但f(x)=|x|在点 x=0 处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选 A。3 【正确答案】 C【试题解析】 利用重要极限的结构式，可知选项 C 不成立，故选 C。4 【正确答案】 D【试题解析】 关于 yOz 平面对称的两点的横坐标互为相反数，故选 D。5 【正确答案】 D【试题解析】 所以 I2I 1I 3，故选 D。6 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x+ ，导数 f(x)=1- 令 f(x)=0，分界驻点为 x1=-2,x2=-2，且在 x=0 处无定义。当 x=-2 时，左
6、侧 f(x)0，f(x)单调递增，右侧(到 x=0)f(x)0，f(x)单调递减；当 x=2 时，左侧(到 x=0)f(x)0，f(x)单调递减，右侧 f(x)0，f(x)单调递增。所以，在(-2，0)，(0，2)内函数f(x)为减函数，故选 D。7 【正确答案】 C【试题解析】 方程 F(x， y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程，故选 C。8 【正确答案】 D【试题解析】 A， 1+xdx= =发散；9 【正确答案】 A【试题解析】 由于可知收敛半径 R=1故选 A。10 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 所给幂级数为不缺项情形
7、，可知 =1，因此收敛半径R= =1。12 【正确答案】 -1【试题解析】 由 f(x)=esinx，则 f(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosesin=-1。13 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时， -1 与 x2 等价，应满足所以当 a=2 时是等价的。14 【正确答案】 r 2+8r=0【试题解析】 本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念。y“+8y=0 的特征方程为 r2+8r=0。15 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(ex)=1+e2x，则等式两边对 ex 积分有16 【正确答案】 2【试题解析】 由题设有 01xf“(x)dx=01x
8、f(x)=xf(x)|01-|01f(x)dx=f(1)-f(x)|01=f(1)-f(1)+f(0)=3-2+1=2。17 【正确答案】 以 Oz 为轴的圆柱面【试题解析】 方程 F(x， y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程，方程 x2+y2=32=0 表示母线平行 Oz 轴的圆柱面方程。18 【正确答案】 -2，1，2)【试题解析】 直线 l 的方向向量为19 【正确答案】 2x【试题解析】 由于 z=x2y+siny，可知 。20 【正确答案】 2【试题解析】 因为 01f(x)dx=，所以 01dx01(x)f(y)dy=01f(x)dx01f(y)dy =(01
9、f(x)dx)2=2。21 【正确答案】 f(x2)=f(x2). 。令 u=x2，则 f(x2)=f(u)。由于 由题设有 。【试题解析】 这是一道一般形式的复合函数求导和求函数值的小综合题。22 【正确答案】 令 ，x=t 2，dx=2tdt 。当 x=4 时，t=2；当 x=9 时，t=3 。则有 .2tdt=223sintdt=-2cost|23=2(cos2-cos3)。【试题解析】 本题采用凑微分法。即=-2(cos3-cos2)=2(cos2-cos3)，也可采用下面的方法来解。23 【正确答案】 直接求解法【试题解析】 本题属于求函数值与积分的小综合题。24 【正确答案】 证明
10、对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系因此可以设 y=f(x)=arctanx，不妨设 a b。则 y=arctanx 在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导。进而可知，y=arctanx 在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)。由于由于 1+21，因此|arctanb-arctana|b-a|。【试题解析】 由于拉格朗日中值定理描述了函数的增量与自变量的增量及导数在给定区间内某点值之间的关系，因而微分中值定理常可用来证明某些有关可导函数增量与自变量的增量，或它们在区间内某点处函数值有关的等式与不
11、等式。25 【正确答案】 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分的步骤：(1)将 x=rcos，y=rsin 代入被积函数； (2)将积分区域 D 的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限；(3)将面积元 dxdy 换为 rdrd。采用极坐标，则D 可表示为 0 ，0r2sin，【试题解析】 本题考查极坐标系下二重积分的计算。26 【正确答案】 设 un= n= ，由于 为公比 r=的几何级数，因此为收敛级数，而 为公比 r= 的几何级数，因此为收敛级数，进而知 收敛，故 收敛。【试题解析】 ，因为 ，即这两个正项级数都是公比小于 1 的几何级数，因此上述级数收敛。27 【正确答案】 【试题解析】 此题可将 x=t3+t，y=e t 直接代入 z= ，然后利用一元复合函数求导法，即当然也可采用下面方法。28 【正确答案】 由于二重积分区域 D 可以表示为： 0y1，0x ，其图形如图阴影部分所示。 如果换为先对 y 积分，作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交，沿 y 轴正向看，入口曲线为 y=x2，出口曲线为 y=1，因此x2y1，在区域 D 中 0x1，因此原等式成立。【试题解析】 本题实际上是一道交换积分次序的题，对左式可先根据 x 的积分限画出积分区域 D 的草图，再由草图所示转化为先对 y 积分，求出后即得右式。
