1、专升本（高等数学一）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题1 设函数 y=ax2+c 在区间(0，+) 上单调增加，则( )（A）a0 且 c=0（B） a0 且 c 为任意实数（C） a0 且 c0（D）a0 且 c 为任意实数2 微分方程 y“+y=0 的通解为 ( )（A）C 1cosx+C2sinx（B） (C1+C2x)ex（C） (C1+C2x)e-x（D）C 1e-x+C2ex3 设 f(x)为连续函数，则积分 =( )（A）0（B） 1（C） n（D）4 平面 x+2y-z+3=0 与空间直线 的位置关系是( )（A）互相垂直（B）互相平行但直线不在平面上（C）既不平行也不垂直
2、（D）直线在平面上5 设 axb ，f(x)0，f“(x) 0，则在区间(a ，b)内曲线弧 y=f(x)的图形( )（A）沿 x 轴正向下降且向上凹（B）沿 x 轴正向下降且向下凹（C）沿 x 轴正向上升且向上凹（D）沿 x 轴正向上升且向下凹6 设 f(x)=e-x2-1，g(x)-x 2，则当 x0 时( )（A）f(x)是比 g(x)高阶的无穷小（B） f(x)是比 g(x)低阶的无穷小（C） f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小（D）f(x)与 g(x)是等价无穷小7 中心在(-1， 2，-2) 且与 xOy 平面相切的球面方程是( )（A）(x+1) 2+(y-2)
3、2+(z+2)2=4（B） (x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=2（C） x2+y2+z2=4（D）x 2+y2+z2=28 函数 z=xy 在点(0 ，0)处( )（A）有极大值（B）有极小值（C）不是驻点（D）无极值9 已知曲线 y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线 x-y+6=0，又 y=y(x)满足微分方程(y“) 2=1-(y)2，则此曲线方程是 y=( )（A）-sinx（B） sinx（C） cosx（D）-cosx10 设 f(x，y)为连续，二次积分 02dxx2f(x，3，)dy 交换积分次序后等于( )（A） 02dy0yf(x，y)dx（B） 01dy0
4、yf(x，y)dx（C） 02dyy2f(x，y)dx（D） 02dy02f(x，y)dx二、填空题11 =_。12 比较积分大小： 12lnxdx_12(lnx)3dx13 设 y= ，则 y=_。14 设 z=y2x，则 =_。15 设 y= ，则其在区间0，2 上的最大值为_。16 微分方程 y“+y+y=0 的通解为_。17 设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为_。18 过点 M0(1-20) 且与直线 垂直的平面方程为_。19 级数 的收敛区间为_。(不包括端点)20 设二元函数 z=ln(x+y2)，则 =_。21 已知当 x0 时， 与 s
5、in2x 是等价无穷小量，求常数 a 的值。22 设 y=23 求证： 0xf(sinx)dx=24 求曲线 y= +2 在点(1，3)处的切线方程。25 设 z=(x+2y)3x2+y2，求 。26 要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元，问该容积的底面半径 r 与高 h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?27 设平面薄片的方程可以表示为 x2+y2R2，x0，薄片上点(x，y)处的密度 (x，y)= ，求该薄片的质量 M。28 设函数 f(x)在-a，a(
6、a 0)上连续，证明 -aaf(x)dx=0af(x)+f(-x)dx。专升本（高等数学一）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设有 y=2ax，则在(0，+)上 2ax0。所以必有 a0 且 c 为任意实数，故选 B。2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得微分方程的特征方程为 r2+1=0，故 r=i 为共轭复根，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx。3 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A。4 【正确答案】 D【试题解析】 平面 ：x+2y-z+3=0 的法向量 n=1，2，-1，直线的方向向量 s=3，-1，1)，(x 0，y 0，z 0
7、)=(1，-1，2)，因为 31+(-1)2+1(-1)=0，所以直线与平面平行，又点(1，-1，2)满足平面方程(即直线 l 上的点在平面 上)，因此直线在平面上。故选 D。5 【正确答案】 B【试题解析】 当 axb 时，f(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下降，由于在(a， b)内 f“(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下凹，故选 B。6 【正确答案】 C【试题解析】 =-1，故选 C。7 【正确答案】 A【试题解析】 已知球心为(-1，2，-2) ，则代入球面标准方程为(x+1) 2+(y-2)2+(z+2)2=r2。又与 xOy 平面相切，则 r=2。故选
8、 A。8 【正确答案】 D【试题解析】 由 z=xy 得 解得驻点(0，0)。又因为A=z“|0,0=0，B=z“| 0,0=1，C=z“ yy|0,0=0，B 2-AC=10，所以在(0，0)处无极值。故选D。9 【正确答案】 B【试题解析】 要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率k=1，(3) 代入(y“) 2=1-(y)2 应成立。故逐个验证后应选 B。10 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 可以表示为 0x2，xy2，其图形如图中阴影部分所示。交换积分次序，D 也可以表示为 0y2，0xy，因此02dxx2f(x，y)dy= 02dy0yf(x
9、，y)dx，故选 A。二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 由于所给极限为 型极限，由极限的四则运算法则有12 【正确答案】 【试题解析】 因为在1，2上 lnx(Inx) 3，所以|lnxdx|(Inx) 3dx。13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 2xy 2x-1【试题解析】 求 只需将 x 看作常数，因此 y2x 可看作是幂函数，故15 【正确答案】 【试题解析】 由 所以 y 在0，2上单调递减，于是 ymax=y|x=0=arctan1= 。16 【正确答案】 (其中 C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 特征方程为 r2+r+1=0，解得：所以通解为(其
10、中 C1，C 2 为任意常数)。17 【正确答案】 y=f(1)【试题解析】 因为曲线 y=f(x)在(1，f(1)处的切线平行于 c 轴，所以 y(1)=0，即斜率 k=0，则此处的切线方程为 y-f(1)=0(x-1)=0，即 y=f(1)。18 【正确答案】 3(x-1)-(y+2)+z=0( 或 3x-y+z=5)【试题解析】 因为直线的方向向量 s=3，-1，1)，且平面与直线垂直，所以平面的法向量 n=3，-1，1，由点法式方程有平面方程为：3(x-1)-(y+2)+(z-0)=0，即3(x-1)-(y+2)+z=0。19 【正确答案】 (1，3)【试题解析】 级数 的一般项 an
11、(x)= ，则由比值法有：即当|x-2|1 时收敛，所以有-1 x-21，即 1x3。故收敛区间为(1，3)。20 【正确答案】 dx【试题解析】 由于 函数 z=ln(x+y2)的定义域为x+y2 0。在 z 的定义域内 为连续函数，因此 dz 存在，且21 【正确答案】 由于当 x0 时， 与 sin2x 是等价无穷小量，因此有解得 a=2。【试题解析】 因为当 x0 时， 与 sin2x 是等价无穷小量，所以有。22 【正确答案】 【试题解析】 本题考查复合函数的求导，可利用链式法则求解。23 【正确答案】 0xf(sinx)dx=-0(sint)dt=0(-t)f(sint)dt=0f
12、(sint)dt-0tf(sint)dt 因为定积分与积分变量无关，所以 0xf(sinx)dx= 。【试题解析】 解题思想是对左侧积分作替换，令 x=-t，即-0(-t)f(sint)dt 打开括号后整理，再运用 x=a-x，x=的思想，即可得证。24 【正确答案】 由导数的几何意义知，曲线 Y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处切线的斜率k=f(x0)，切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0)，由于 y= ，则 y|x=1=-2，因此切线方程为 y-3=-2(x-1)，即 2x+y-5=0。【试题解析】 本题考查利用导数求曲线的切线方程25 【正确答案】 设 u=x+2y，=3
13、x 2+y2，则 z=u，由复合函数的链式法则有=2(3x2+y2)(x+2y)3x2+y2-1+2y(x+2y)(3x2+y2)ln(x+2y)。【试题解析】 本题考查由复合函数的链式法则求偏导数。26 【正确答案】 设 S 为材料费用函数，则 S=2rh+兀 r2+3r2，且满足条件r2h=32， 令 S(r)=0，得驻点 r=2。因 S“(2)=240，且驻点唯一，所以 r=2 为 S(r)的最小值点，此时 所以 r=2 厘米，h=8 厘米时，材料费用最省。【试题解析】 本题为利用导数求最值问题。 求最大值与最小值的一般方法是： (1)求出 f(x)在(a，b)内的所有 (可能的极值点)
14、驻点、导数不存在的点：x 1，x k。 (2)求出上述各点及区间两个端点 x=a，x=b 处的函数值：f(x 1)，f(x k)，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为 y=f(x)在a，b上的最大值，相应的 z 的取值即为f(z)在a ，b 上的最大值点，而其中最小的数值即为 f(x)在a，b上的最小值，相应的 x 的取值即为 f(x)在a， b上的最小值点。27 【正确答案】 利用对称性，依题设【试题解析】 由二重积分的物理意义知：该薄片的质量 (其中(x，y)为密度函数)，而此积分的区域 D 为半圆，即 x2+y2R2(x0)，所以由下面解法可以得到质量 M 的结果。28 【正确答案】 -aaf(x)dx=-a0f(x)dx+0af(x)dx。 对于 -a0f(x)dx，令 x=-t，则 -a0f(x)dx=-a0f(-t)dt =a0f(-t)dt=a0f(-x)dx。 所以 -aaf(x)dx=0af(-x)dx+0af(x)dx=0af(-x)+f(x)dx。【试题解析】 本题利用定积分的性质证明等式成立。
