1、专升本（高等数学一）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题1 当 x0 时，下列变量中为无穷小量的是 ( )（A）lgx（B） cos（C） cotx（D） 一 12 设 f(2)1，则 等于 ( )（A）（B） 0（C）（D）13 设 ye axbx2 ，则 dy ( )（A）(a2bx)e axbx2 dx（B） eaxbx2 dx（C） (a2b)e axbx2 dx（D）2bxe axbx2 dx4 dx ( )（A）2x C（B） 2xlnxC（C） 2xlnxC（D）2x C5 直线 l 与 x 轴平行，且与曲线 yxe x 相切，则切点的坐标是 ( )（A）(0 ，1)（B） (
2、1，1)（C） (0，1)（D）(1，1)6 dx ( )（A）一（B）（C）一 （D）7 极限 ( )（A）1（B） -1（C） 0（D）28 设 unavn(n1，2，)(a0)，且 vn 收敛，则 un ( )（A）必定收敛（B）收敛性与 a 有关（C）必定发散（D）上述三个结论都不正确9 设 D(x，y) 0x1，0y2，则 xey dxdy ( )（A）（B）（C）（D）10 微分方程 y2y0 的通解是 ( )（A）yC 1C 2e2x（B） yC 1ex C 2e2x（C） yC 1xC 2e2x（D）yC 1C 2x二、填空题11 设 3，则 a_12 曲线 y 的铅直渐近线方
3、程为_13 设 y ，则 y_14 设函数 f(x) 在 x0 处连续，则 a_15 曲线 yxcosx 在点(0，1)处的切线的斜率 k_16 sinxcosxdx_17 设函数 f(x) er2dt，则 f(0)_18 设二元函数 zx 22xy ，则 dz_19 过原点(0 ，0，0) 且垂直于向量(1，1，1) 的平面方程为_20 微分方程 y一 2xy0 的通解为 y_三、解答题21 计算 22 设 f(ex)x 4 一 ex，求 f(x)23 求函数 yx 33x2 一 9x1 的极值24 计算 (x2e 4x )dx25 求由曲线 y2 一 x2，yx(x0)与直线 x0 所围成
4、的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积26 求微分方程 y一 5y6y0 的通解27 判断级数 (a0，ae)的敛散性28 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 为 x2y 24，且 x0，y0 所围区域专升本（高等数学一）模拟试卷 63 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 x0 时，lg x，cos 无极限，cot x， 一 10，故选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(2)，因 f(2)1，故极限值为 3 【正确答案】 A【试题解析】 dy e axbx2 .(axbx 2)dx(a2bx)e axbx2 dx4 【正确答案】 C【试题解析】 dx2xl
5、nxC 5 【正确答案】 C【试题解析】 直线 l 与 x 轴平行，可知该直线的斜率 k0，所以 y(xex)1 一ex0， 得 x 0，因此 y 0 一 e0一 1，则切点的坐标为 (0，一 1)6 【正确答案】 B【试题解析】 直接利用不定积分公式7 【正确答案】 A【试题解析】 原式 18 【正确答案】 D【试题解析】 由正项级数的比较判别法知，若 unvn，则当 vn 收敛时， un也收敛；若 un 发散时，则 vn 也发散，但题设未交待 vn 与 un 的正负性，由此可分析此题选 D9 【正确答案】 D【试题解析】 10 【正确答案】 A【试题解析】 该微分方程的特征方程为：r 22
6、r 0，特征根为 0,2，所以通解为：yC 1C 2e2x二、填空题11 【正确答案】 a 【试题解析】 12 【正确答案】 x一【试题解析】 将方程分离常数，x一 13 【正确答案】 【试题解析】 y14 【正确答案】 3【试题解析】 依题意，f(x)在 x0 处连续， (2xa)3，a315 【正确答案】 1【试题解析】 yx(cosx)1 一 sinx，x0 时，y1；曲线在点(0，1)处的切线斜率为 116 【正确答案】 【试题解析】 17 【正确答案】 1【试题解析】 此题可直接利用微分积分的逆运算得 f(x)e x2，f(0)e 0118 【正确答案】 2(xy)dx2xdy【试题
7、解析】 分别将 y，x 看作自变量， dz(x 2)y(2x)dx(02xy)dy(2x2y)dx2xdy 19 【正确答案】 xyz0【试题解析】 设平面方程为 AxByCzD0，则其法向量(A，B，C)平行于(1，1，1)，即 ABC；所求平面过原点，D0；平面方程为：xyz020 【正确答案】 Ce x2【试题解析】 y2xy，分离变量得 dy2xdx ，两边积分得 lny x 2lnC 1，即 ye x2C 1e C1ex2 于是原方程的通解为 yCe x2三、解答题21 【正确答案】 22 【正确答案】 令 ext，得 xln t，f(t) (ln t) 4 一 t，即 f(x)ln
8、 4xx，则 f(x)一 123 【正确答案】 y3x 2 一 6x 一 9令 y0 得极值点 x1一 1，x 23，又因为当x一 1，f(x)为增函数，当一 1x3，f(x) 为减函数，所以 x一 1 为极大值点，极大值 f(1)6；当一 1x3，f(x) 为减函数，当 x3，f(x) 为增函数，所以x3 为极小值点，极小值为 f(3)一 2624 【正确答案】 e4x C25 【正确答案】 由平面图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积为 y2(x)dx 画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为 0x1，0y2 一 x2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积当 x0 时，由 得 v (2 一x2)2 一 x2dx (45x2x 4)dx兀(4x 一26 【正确答案】 特征方程为：r 2 一 5r60，所以特征值为 r12，r 23 通解为：yC 1e2xC 2e3x27 【正确答案】 令 un ，则 un1 ，由于故有当1，即 ae 时，该级数收敛；当 1，即 ae 时，该级数发散28 【正确答案】 令 xrcos ，yrsin ，所以 dxdyrdrd(e41)
