1、专升本（高等数学一）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题1 ( )（A）一 1（B） 1（C）一 2（D）22 函数 在点 x0 处连续，则 k 等于 ( )（A）（B） 0（C）（D）3 设 yx 22e2，则 y ( )（A）2x 一 4e（B） 2x 一 2e2（C） 2x（D）2x 一 e4 设 f(t)dtxsinx ，则 f(x) ( )（A）sin xxcosx（B）一 (sin xxcosx)（C） sin xxcosx（D）xcosx sinx5 设 I1 xdx，I 2 dx，I 3 sin xdx,则 ( )（A）I 3I 1 I2（B） I1I 2I 3（C） I1I
2、 3I 2（D）I 2I 1 I36 设函数 f(x)一(2x)e x，则函数 f(x) ( )（A）有极小值（B）有极大值（C）无极值（D）既有极小值又有极大值7 设 zarctan ，则 ( )（A）（B）（C）（D）8 方程 z3x 23y 2 表示的曲面是 ( )（A）球面（B）旋转抛物面（C）椭球面（D）圆锥面9 设幂级数 anxn 在 x 3 处收敛，则该级数在 x一 2 处 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性不能确定10 微分方程 y一 3y4y0 的通解为 ( )（A）yC 1ex C 2e4x（B） yC 1ex C 2e4x（C） yC 1exC 2e
3、4x（D）yC 1exC 2e4x二、填空题11 5，则 b_12 函数 f(x) 在 x0 连续，此时 a_13 设 y2 arccos，则 dy_14 xcos x2dx_15 设 yarctan ，则其在区间 0，3上的最大值为_16 如果函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，则在(a ，b) 内至少存在一点 ，使得 f(b)一 f(a)_17 设区域 D 由曲线 x2y 24，x0 所围成，则二重积分 (x2y 2)dxdy_18 过 x 轴和点(4，一 3，一 1)的平面方程为_19 曲线 2x32y 3 一 9xy0 在点(2，2)处的切线斜率为_20 微分方程 yy
4、2 的通解为_三、解答题21 计算 22 已知 求 t 时 的值23 求垂直于直线 2x 一 6y30 且与曲线 yx 33x 2 一 6 相切的直线方程24 求 dx25 求 y一 y3x 4 的通解26 设平面图形是由曲线 y 和 xy4 围成(1)求此平面图形的面积 S；(2)求此平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体 Vx27 判定级数 的收敛性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛?28 计算 dxdy，其中 D 是由 yx 和 y2x 围成专升本（高等数学一）模拟试卷 66 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 12 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x0
5、处连续，所以 f(x)f(0)，即 2k ，k 3 【正确答案】 C【试题解析】 yx 2 一 2e2，其中 e2 为实数，所以 y2x4 【正确答案】 A【试题解析】 在 f(t)dtxsin x 两侧关于 x 求导数，有 f(x)sin xxcos x5 【正确答案】 D【试题解析】 在0， 上，sinxx ，所以sinxdx，所以 I2I 1 I3，故选 D6 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x)(2x)e x，且处处可导，于是，f(x)e x(2x).e x(x3)ex，令 f(x) 0 得驻点 x一 3；又 x一 3 时，f(x)0；x一 3 时，f(x)0；从而 f(x)在
6、x一 3 处取得极小值，且 f(x)只有一个极值7 【正确答案】 B【试题解析】 因为(arctan x) ，所以8 【正确答案】 B【试题解析】 绕 z 轴而得的旋转抛物面的方程为：x 2y 22pz，所以 z3x 23y 2表示的曲面为旋转抛物面；球面方程为：(xa) 2(y 一 b)2(z c)2R 2；椭球面方程为： 1；圆锥面方程为： 一 09 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知，幂级数 anxn 的收敛半径最小值等于 3，所以该级数在 x一 2 处绝对收敛10 【正确答案】 A【试题解析】 特征方程 r2 一 3r 一 40 的特征根为 r1一 1，r 24，原方程通解为 y
7、C 1ex C2e4x二、填空题11 【正确答案】 3ln 5【试题解析】 5，所以 ln 5，则b3ln 512 【正确答案】 0【试题解析】 由 0， 且f(0) ，又因 f(x)在 x0 处连续，则 0，所以 a013 【正确答案】 一 ln 2. dx【试题解析】 由 y2 2arccos x，则 y一 22arccos x.2 .ln 2，所以 dyln 2.dx14 【正确答案】 0【试题解析】 由于 xcos x2 为奇函数，所以 xcos x2dx015 【正确答案】 【试题解析】 由 yarctan 知 y一 0，所以 y 在0，3上单调递减于是 ymaxy arctan 1
8、 16 【正确答案】 f()(b 一 a)【试题解析】 由题目条件可知函数 f(x)在a ，b 上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点 (a，b)，使 f(b)一 f(a)一 f()(b 一 a)17 【正确答案】 4【试题解析】 令 xrcos ，yrsin ，418 【正确答案】 y3z 0【试题解析】 设所求平面方程为：Ax+ByCz0，由于平面过 x 轴，取 x 轴上一点(1 ，0，0) 代入平面方程有 A0，又由于平面过点 (4，一 3，一 1)，代入得一 3BC0，C一 3B，即 By 一 3Bz0，y 一 3z019 【正确答案】 一 1【试题解析】 6x 26y 2.y
9、一 9(yxy)0，y 一 120 【正确答案】 yCe x 一 2【试题解析】 分离变量得， dx，两边同时积分得 ln y2 xC 1，所以通解为 yCe x 一 2三、解答题21 【正确答案】 22 【正确答案】 故 23 【正确答案】 由于直线 2x 一 6y30 的斜率 k ，与其垂直的直线的斜率k1 3 对于 yx 33x 2 一 6，y3x 26x由题意应有 3x26x一 3，即x22x10，得 x1，此时 y(一 1)33(1) 2 一 6一 4，即切点为(一 1，一 4)切线方程为 y4一 3(x1)，即 3xy7024 【正确答案】 本题另解如下：令 x2sin t，dx2cos tdt，则 .2costdt2cost2tC C25 【正确答案】 y一 y0 分离变量，得 dx，两边积分得 yCx 2，令yC(x)x 2，则 y2xC(x)x 2C(x)，将其与 yC(x)x 2 代入原方程得 yx 2(x3C)，则其通解为 yCx 2x 526 【正确答案】 平面图形如图所示27 【正确答案】 所给级数是任意项级数，不是交错级数，由于(1) n又由于 为 p 的 p 级数，因而收敛由正项级数的比较判别法可知 收敛，从而 绝对收敛28 【正确答案】 （cos 11）1cos 1
