1、专升本（高等数学一）模拟试卷 84 及答案与解析一、选择题1 下列函数中在点 x0=0 处可导的是 【 】2 微分方程 y+y=0的通解为 【 】（A）C 1cosx+C2sinx（B） (C1+C2x)ex（C） (C1+C2x)ex（D）C 1ex +C2ex3 sin 2xdx= 【 】4 当 x0 时， 与 1cosx 比较，可得 【 】（A） 是较 1cosx 高阶的无穷小量（B） 是较 1cosx 低阶的无穷小量（C） 与 1cosx 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量（D） 与 1cosx 是等价无穷小量5 函数 f(x)= 的间断点个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D
2、）36 设 f(x)= 1，g(x)=x，则当 x0 时 【 】（A）f(x)是比 g(x)高阶的无穷小（B） f(x)是比 g(x)低阶的无穷小（C） f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小（D）f(x)与 g(x)是等价无穷小7 在空间中，方程 y=x2 表示 【 】（A）xOy 平面的曲线（B）母线平行于 Oy 轴的抛物柱面（C）母线平行于 Oz 轴的抛物柱面（D）抛物面8 过点(1 ，0，0) ，(0，1，0) ，(0，0，1)的平面方程为 【 】（A）x+y+z=1（B） 2x+y+z=1（C） x+2y+z=1（D）x+y+2z=19 设 f(x)= 为连续函数，则
3、a 等于 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）任意值10 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 【 】（A）f(x)dx=F(x)+C（B） F(x)+C=f(x)（C） dF(x)=f(x)（D）F(x)dx=f(x)二、填空题11 若 =_12 设 则 F(x)=f(x)+g(x)的间断点是_13 设 f(x)=3x，g(x)=x 3，则 fg(x)=_14 若点(1 ，3)是曲线 y=ax3+bx2 的拐点，则 a，b 分别为_15 设 f(x)=ex ，则xf(x)dx=_16 设 f(x)= 则 1 2f(x)dx=_17 =_18 设 z=xy，则 =_19 曲线 y= 与
4、直线 y=x， x=2 围成的图形面积为_ 20 微分方程 y+y2y=0 的通解是_21 求22 设 f(x)=(x1)(x)，且 (x)在 x=1 处连续，证明：f(x)在点 x=1 处可导23 设工厂 A 到铁路线距离为 20 公里，垂足为 B，铁路线上距离 B 为 100 公里处有一原料供应站 C，现从 BC 间某处 D 向工厂 A 修一条公路，为使从 C 运货到 A运费最省，问 D 应选在何处?(已知每公里铁路与公路运费之比为 3：5)24 求椭圆 =1 与坐标轴所围面积及椭圆曲线绕 x 轴旋转一周所成的体积25 求过原点，且与直线 平行的直线的方程26 求 z=e2x(x+y2+2
5、y)的极值27 求函数 y=x2ex 的极值及凹凸区间和拐点28 在曲线 y=sinx(0x )上求一点 M0，使得如图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和S=S1+S2 为最小专升本（高等数学一）模拟试卷 84 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 在 x=0 处无定义不可导，x在 x=0 处不可导；x 2=x2 可导故选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得微分方程的特征方程为 r2+1=0，故 r=i 为共轭复根，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx3 【正确答案】 B【试题解析】 sin2xdx= sin2xd(2x)= cos2x+C，故选 B4
6、 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =，所以 是 1cosx 的低阶无穷小量故选 B5 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要是讨论没有定义的点因为本函数在 x=0，x=1 处没有定义，所以在 x=0 和 x=1 处间断故选 C6 【正确答案】 C【试题解析】 =1故选 C7 【正确答案】 C【试题解析】 方程 F(x， y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程故选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 设所求平面方程为 Ax+By+Cz+D=0，则代入题中三个点坐标可得即原方程可表示为DxDyDz+D=0 ，D0 时，平面方程为x+y+z=19 【正确答案】 B【试题解析】
7、=x1，故 x=2 是函数 f(x)的可去间断点，=1，若函数 f(x)连续，则 a=110 【正确答案】 B二、填空题11 【正确答案】 3【试题解析】 因为 =2，又因为数列有极限和其极限值是多少与数列中含有限项的个数无关，所以12 【正确答案】 x=1【试题解析】 由于 f(x)有分段点 x=0，g(x) 有分段点 x=1，故需分三个区间讨论F(x)=f(x)+g(x)的表达式，而 x=0，x=1 的函数值单独列出，整理后得所以 x=0 是 F(x)的连续点而 所以 x=1 是 F(x)的间断点13 【正确答案】 【试题解析】 g(x)=x 3，g(x)=3x 2，则 fg(x)=f(3
8、x2)，注意等号右端的含义为 f(u)在 u=3x2 处的导数而 f(x)=3x，即 f(u)=3u，则 f(u)=3uln3所以 fg(x)=f(3x2)=14 【正确答案】 【试题解析】 因为(1，3)在曲线 y=ax3+bx2 上，所以有 a+b=3又因 y=6ax+2b，所以 6a+2b=0解方程组15 【正确答案】 xe x +ex +C【试题解析】 分部积分法，xf(x)dx=xdf(x)=x.f(x)f(x)dx=x.ex e x dx=xex +ex +C16 【正确答案】 3【试题解析】 由题得 1 2f(x)dx=1 0dx+02xdx=317 【正确答案】 0【试题解析】
9、 设 f(x)= ，则 f(x)为奇函数积分区间关于原点对称，所以由定积分几何意义可知该积分等于零18 【正确答案】 119 【正确答案】 ln2【试题解析】 由题作图，由图可知所求面积为 S=20 【正确答案】 y=C 1e2x +C2ex【试题解析】 因特征方程 r2+r2=0，得 r1=2，r 2=1，因此齐次方程通解为y=C1e2x +C2ex21 【正确答案】 22 【正确答案】 因 f(1)= (因为(x)在 x=1 处连续，所以 =(1)所以 f(x)在 x=1 处可导23 【正确答案】 如图，设 BD 为 x 公里，铁路每公里运费为 a，则公路每公里运费为 ，于是总运费为 y=
10、(100x)a+ 由 y=a+ ，得唯一驻点 x=15(0，100)故当 D 距 B 为 15 公里时，从 C 运货到 A 运费最省24 【正确答案】 作图，由图对称性知所求面积应是第一象限部分面积的 4 倍，即绕 x 轴旋转一周所成体积，由对称性得 同理绕 y 轴旋转一周所成体积为 vy= a2b25 【正确答案】 由直线 的方向向量为又因所求直线与已知直线平行，所以所求直线的方向向量也为 s又因所求直线过原点故由标准式可得所求直线的方程为26 【正确答案】 因 zx=e2x(2x+2y2+4y+1)，z y=e2x(2y+2)又因 A=zxx=4e2x(x+y2+2y+1)，B=z yy4
11、e2x(y+1)，C=zyy=2e2x于是 为极小值点，且极小值为27 【正确答案】 (1)y=2xex x 2ex =xex (2x)y=2e x 4xe x +x2ex =ex (x24x+2)(2)令y=0，得 x1=0，x 2=2令 y=0，得 x3=2 ，x 4=2+ (3)列表如下：由表中 y和 y在各个区间的符号则有：函数 y=x2ex 的极小值为 y(0)=0，极大值为y(2)=4e2 ；函数 y=x2ex 的凹区间为 函数 y=x2ex 的凸区间为 函数 y=x2ex 的拐点为28 【正确答案】 设点 M0 的横坐标为 x0，S 为 x0 的函数，将上式对 x0 求导得由于只有唯一的驻点，所以则点 M0 的坐标为 为所求
