1、专升本（高等数学一）模拟试卷 85 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)在点 x0 处取得极值，则 【 】（A）f(x 0)不存在或 f(x0)=0（B） f(x0)必定不存在（C） f(x0)必定存在且 f(x0)=0（D）f(x 0)必定存在，不一定为零2 是函数 f(x)在点 x=x0 处连续的 【 】（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件3 设 f(x)=21nx+ex，则 f(2)= 【 】（A）e（B） 1（C） 1+e2（D）ln24 在区间2，2 上，下列函数中不满足罗尔定理条件的是（A）cos 2x（B） x（C）（D）ln(1+x 2)5
2、 下列求极限问题中不应直接使用洛必达法则的是 【 】6 设 f(x)= x3x，则 x=1 为 f(x)在2，2上的 【 】（A）极小值点，但不是最小值点（B）极小值点，也是最小值点（C）极大值点，但不是最大值点（D）极大值点，也是最大值点7 若f(x)dx=xe x +C，则 f(x)= 【 】（A）(1 x)e x（B） (x1)e x（C） xex（D）xe x8 下列积分值不为零的是 【 】9 在空间直角坐标系中，方程 x24(y1) 2=0 表示 【 】（A）两个平面（B）双曲柱面（C）椭圆柱面（D）圆柱面10 微分方程(y) 2+(y)3+sinx=0 的阶数为 【 】（A）1（B
3、 2（C） 3（D）4二、填空题11 =_12 设函数 f(x)= ，则 f(x+1) 的间断点为_13 设 f(x+1)=4x2+3x+1，g(x)=f(e x )，则 g(x)=_14 =_15 函数 y=2x33x 212x+3 在2，3上最小值为_16 =_17 f(x)f(x)dx=_18 若 0+ekx dx=2，则 k=_19 F(x)是连续函数，则 F(x)dx=_20 直线 的标准式方程为_21 求下列极限22 求 (x+y)dxdy，其中区域 D 是由曲线 y=1+x2，y=x 2，x=0 与 x=1 所围成23 求函数 z=x2+y2 在 =1 条件下的极值及极值点24
4、 求幂级数 的收敛半径和收敛区间25 求函数 z=x+y 的一阶偏导数26 计算二重积分 ydxdy，其中 D 为曲线 x=y2+1，直线 x=0，y=0，y=1 所围成的区域27 求由平面 x=0，x=1 ， y=0，y=2 所围成的柱体被 z=0，z=5 xy 所截得的立体的体积 V28 设连续函数 f(x)满足方程 f(x)+20xf(t)dt=x2，求 f(x)专升本（高等数学一）模拟试卷 85 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 若点 x0 为 f(x)的极值点，可能为两种情形之一： (1)若 f(x)在点 x0 处可导，由极值的必要条件可知 f(x0)=0； (2
5、) 如 f(x)=x在点 x=0 处取得极小值，但 f(x)=x在点 x=0 处不可导这表明在极值点处，函数可能不可导故选 A2 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)在 x=x0 处连续的充要条件是 =f(x0)因此只是 f(x)在 x0 连续的必要条件，选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= +ex，f(2)=1+e x，选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 A、C、D 选项三个函数都是初等函数，且在2，2上有定义，因此在区间2，2 上连续，且在区间两端点处函数值相等又 A 选项的导函数为2cosxsinx， C 选项的导函数为 ，D 选项的导函数为 ，都在(2，2)
6、内有意义，所以 A、C、D 选项在(2，2)内都可导故它们都满足罗尔定理条件，而 B 选项， f(x)=x= 故则 f(x)=x在 x=0 连续而 所以 f(x)=x在 x=0 处不可导，故f(x)=x在 (2，2)内不可导，选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 A 选项， B 选项，C 选项，D 选项，若用洛必达法则将会更复杂，而用等价无穷小代换，计算很简便 =0，故选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=x21，得驻点为 x=1，又因 f(x)=2x，则 f(1)=20所以 x=1 为极小值点又 所以应选B7 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=f(x)dx=(xe x
7、 +C)=(1x)e x ，故选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 由奇函数在对称区间的积分得 A、B 选项都为零，而 C 选项 sin2xcosxdx=20sin2xdsinx= sin3x 0=0，故选 D9 【正确答案】 A10 【正确答案】 B二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 x=1 和 x=0【试题解析】 f(x+1 )= 的间断点为 x=1 和 x=013 【正确答案】 8e 2x +5ex14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 -17【试题解析】 由 y=6x26x12，得驻点为 x1=1，x 2=2 又因y x=1 =10，y y
8、2=17，y x=2 =1，y x=3=6，故最小值为1716 【正确答案】 217 【正确答案】 f(x)2+C【试题解析】 凑微分法，f(x)f(x)dx=f(x)df(x)= f(x)2+C18 【正确答案】 f(x)2+C【试题解析】 凑微分法，f(x)f(x)dx=f(x)df(x)= f(x)2+C19 【正确答案】 F(x)20 【正确答案】 【试题解析】 取 z=0，可得直线上一点(5，8，0)，直线的方向S= =3，2，1所以直线方程为21 【正确答案】 22 【正确答案】 积分区域 D 如右图所示D 可以表示为 0x1，x 2y1+x223 【正确答案】 用拉格朗日乘数法
9、令 F(x，y， )=x2+y2+(4x+3y12)于是得其驻点 ，又fxx(x，y)=20，故点 为极小值点，且极小值为24 【正确答案】 该级数为标准型幂级数故收敛半径 R= =1，所以收敛区间为( 1，1)25 【正确答案】 26 【正确答案】 积分区域 D 的图形如图所示 由积分区域 D 的图形可以看出，如果选择先对 y 积分，后对 x 积分的次序当作平行于y 轴的直线与区域 D 相交时，入口曲线不唯一，因此需要将区域 D 划分为几个子区域如果先对 x 积分，后对 y 积分，则可以直接进行为了确定积分限先求解方程组 得一组解 x=2，y=1 ，对应于交点 B(2，1)解方程组得一组解 x=1，y=0 ，对应于交点 A(1，0)作平行于 x 轴的直线与区域 D 相交，沿 x 轴正方向看，入口曲线为 x=0，出口曲线为 x=y2+1，因而0xy2+1在 D 中 0y1，于是27 【正确答案】 设区域 D 为所给立体在 xOy 有面上的投影，则 D 可以表示为0x1，0y228 【正确答案】 方程两边对 x 求导得 f(x)+2f(x)=2x，即 y+2y=2x直接套用公式得 y=e2dx 2x.e2dx+C=x +Ce2x
