1、专升本（高等数学一）模拟试卷 86 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)= 在(，+)上连续，且 =0，则常数 a，b 满足 【 】（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b02 设 f(x3)=e 2x，则 f(x)= 【 】（A）e 2x（B） 2e2x+6（C） 2e2x（D）2e 2x+33 下列函数在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的是 【 】4 函数 y=ax2+b 在(，0)内单调增加，则 a，b 应满足 【 】（A）a0， b=0（B） a0，b0（C） a0，b 为任意实数（D）a0， b 为任意实数5 ln2xdx= 【 】（A）2xln 2x
2、2x+C（B） xln x+ln x+C（C） xln 2xx+C（D） +C6 设函数 f(x)在a，b上连续，且 F(x)=f(x)，有一点 x0(a，b)使 f(x0)=0，且当axx0 时，f(x)0；当 x0xb 时，f(x) 0，则 f(x)与 x=a，x=b，x 轴围成的平面图形的面积为 【 】（A）2F(x 0)F(b)F(a)（B） F(b)F(a)（C） F(b)F(a)（D）F(a) F(b)7 函数 z=ln(x2+y21)+ 的定义域是 【 】（A）(x ，y) 1x 2+y29（B） (x，y)1x 2+y29（C） (x，y)1x 2+y29（D）(x ，y) 1
3、x 2+y298 若 10dx01+xf(x，y)dy+ 01dx01x f(x，y)dy= 01dym(y)n(y)f(x，y)dx，则 【 】（A）m(y)=y1，n(y)=0（B） m(y)=y1，n(y)=1y（C） m(y)=1y，n(y)=y1（D）m(y)=0，n(y)=y 1 9 设函数 f(x)在a，b上连续，则曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的平面图形的面积等于 【 】（A） abf(x)dx（B） abf(x)dx（C） abf(x)dx（D）f()(b a)(a b)10 幂级数 在点 x=2 处收敛，则该级数在 x=1 处必定 【 】（A）发散
4、（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不能确定二、填空题11 函数 f(x)= 的连续区间为 _12 双曲线 y= 在点( ，2) 处的切线方程为_，法线方程为_13 极限 =_14 已知函数 f(x)=ax2+2x+c 在点 x=1 处取得极值 2，则a=_，c=_，f(1) 为极_值15 =_16 过点 M0(1，1，2)且与直线 l1： 垂直的平面方程为_17 设二元函数 z=ln(x+y2)，则 =_18 设 z=u2.lnv，u= ，v= ，则 dz=_19 通解为 C1ex +C2e2x 的二阶常系数线性齐次微分方程是_20 设 x2+x 为 f(x)的原函数，则 01xf(x)
5、dx=_21 设 y=22 设 f(x)=e3x，求23 已知 f()=1，且 0f(x)+f(x)sinxdx=3，求 f(0)24 设 (x)= 2+1 x(t21)dt，试求 (x)的极值25 求由曲线 y=2x 2，y=x(x0)与直线 x=0 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积26 求椭圆 =1 所围成图形的面积 A27 将 f(x)=e2x 展开为 x 的幂级数28 欲围造一个面积为 15 000 平方米的运动场，其正面材料造价为每平方米 600 元，其余三面材料造价为每平方米 300 元，试问正面长为多少米才能使材料费最少?专升本（高等数学一）模拟试卷 86 答案
6、与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)= 在( ，+) 上连续，所以 ae bx因x(，+)，则 a0，又因为 ，所以x时，必有 因此应有 b0选 D2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x3)=e 2x=e2(x3)+6 ，所以 f(x)=e2x+6，f(x)=2e 2x+6，选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 lnx 在1 ，e上有定义，所以在1，e上连续，且(lnx)= 在(1，e)内有意义，所以 lnx 在(1 ，e)内可导，选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 y=ax2+b 在( ，0)内单调增加，所以 y=2ax0，因x0，所以 a0，此
7、结论与 b 无关，所以应选 D5 【正确答案】 C【试题解析】 分部积分法，ln2xdx=xln2xxdlnx=xln2xdx=xln2xx+C，故选 C6 【正确答案】 A【试题解析】 由 F(x)=f(x)，则 abf(x)dx=F(b)F(a)，而 f(x)与 x=a，x=b，x 轴围成的平面图形的面积为 S= =F(x0)F(a)F(b)F(x 0)=2F(x0)F(a)F(b)，故选 A7 【正确答案】 C【试题解析】 要使表达式有意义，自变量 x，y 必须同时满足 即 1x 2+y29，所以函数的定义域为 D=(x，y)1 x 2+y29，故选 C8 【正确答案】 B【试题解析】
8、由题作图，D 1 表示 01dx01x f(x，y)dy 的积分区域，D 2 表示1 0dx01+xf(x，y)dy 的积分区域，故 D1+D2 整个积分区域可表示为 01dym(y)n(y)f(x，y)dx= 01dyy1 1y f(x，y)dx，因此 m(y)=y1，n(y)=1y，应选 B9 【正确答案】 C10 【正确答案】 C二、填空题11 【正确答案】 0，1) (1，3【试题解析】 分段函数 f(x)在其每段内都是连续的，因此只需看分段点 x=1，x=2处的连续情况由 =1=f(1)， 则 f(x)在 x=1处不连续由 =1=f(2)， =1=f(2)则 f(x)在 x=2处连续
9、综上，f(x)的连续区间为0 ，1) (1，312 【正确答案】 y2=4(x )，y2=【试题解析】 y= =4，所以切线方程为 y2=4(x )，法线方程为 y2=13 【正确答案】 2【试题解析】 =214 【正确答案】 1，1，大【试题解析】 y=2ax+2，y=2a，由于(1，2)在曲线 y=ax2+2x+c 上，又 x=1 为极值点，所以 y(1)=0，有 解得 a=1，c=1，所以 y x=10，则 x=1为极大值点15 【正确答案】 1【试题解析】 本式为 型极限， =116 【正确答案】 2x+3y+z3=0【试题解析】 由题可知所求平面方程一般式的系数满足关系 =C，可设此
10、一般式为 2x+3y+z+D=0，带入点 M0 坐标可求得 D=3，故该平面方程为2x+3y+z3=017 【正确答案】 dx【试题解析】 dz= dy，代入 x=1，y=0 得 dz=dx18 【正确答案】 y 3dx+3xy2dy【试题解析】 把 u，v 代入 z=u2lnv 中，有 z= =xy3故于是 dz= =y3dx+3xy2dy19 【正确答案】 y+3y+2y=0【试题解析】 设所求微分方程的特征方程为 r2+qr+p=0，由题可知该方程的两个根分别为1 和2，代入特征方程解得 p=3，q=2，故所求微分方程为y+3y+2y=020 【正确答案】 1【试题解析】 由题可知 f(
11、x)=2x+1，f(x)=2，所以 01xf(x)dx=012xdx=121 【正确答案】 本题考查复合函数的求导可利用链式法则求解22 【正确答案】 直接求解法 f(x)=3e3xf(lnx)=3e3lnx=3x323 【正确答案】 由于 0f(x)+f(x)sinxdx=0f(x)sinxdx+0f(x)sinxdx， 对 0f(x)sinxdx 采用凑微分和分部积分后与 0f(x)sinxdx 相加，代入条件即可求出 f(0) 因为 0f(x)+f(x)sinxdx=0f(x)sinxdx+0f(x)sinxdx， 而 0f(x)sinxdx=0sinxdf(x)=sinx.f(x) 0
12、 0f(x)cosxdx = 0cosxdf(x) =f(x)cosx 0 0f(x)sinxdx =f()+f(0) 0f(x)sinxdx 所以 0f(x)+f(x)sinxdx=f()+f(0)=3 又 f()=1，所以 f(0)=224 【正确答案】 这是一道求函数极值的题只要用常规求极值的方法去解就可以了不过在求函数的导数时要注意变上限积分的导数公式的应用，用( axd(t)dt)=f(x)由 (x)=x21=0，得 x=1 或 x=1又 (x)=2x，且 (1)=2 0，(1)=20，故当 x=1 时，(x)取极大值 (1)=2+ 1 1(t21)dt=2 ；当 x=1 时，(x)
13、取极小值 (1)=2+ 1 1(t21)dt=225 【正确答案】 就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)( 假设 f(x)g(x)与 x=a，x=b x=abf2(x) g2(x)dx具体解法如下：由平面图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积为 Vx=aby2(x)dx 画出平面图形的草图(如图所示) ，则所求体积为 0x1，0y2x 2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积当 x0 时，由 V=01(2x 2)2x 2dx=01(45x 2+
14、x4)dx=26 【正确答案】 因为椭圆的面积 A 被坐标平分为四等分，所以只需求出在第一象限所围的面积 A1，再乘以 4 即可，即 A=4A1=40aydx，具体解法如下：椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆所围成的图形面积 A=4A1，其中 A1 为该椭圆在第一象限的曲线与两坐标轴所围成图形面积，所以 A=4A1=40aydx 将 y 在第一象限的表达式y= 代入上式，可得 A=40a 令 x=acost，则 dx=asintdt ，且当 x=0 时， t= ；当 x=a 时，t=0 ，则所以 A=4A1=4 =ab27 【正确答案】 28 【正确答案】 设运动场正面围墙长为 x 米，则宽为 设四面围墙高相同，记为 h则四面围墙所用材料费用 f(x)为： 令f(x)=0 得驻点 x1=100，x 2=100(舍掉)f(x)= f(100)0 由于驻点唯一，且实际问题中存在最小值，可知 x=100 米，侧面长 150 米时，所用材料费最小
