1、专升本（高等数学一）模拟试卷 90 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，则 【 】（A）至少存在一点 (a，b)，使 f()=0（B）当 (a，b)时，必有 f()=0（C）至少存在一点 (a，b)，使得 f()=（D）当 (a，b) 时，必有 f()=2 = 【 】3 设 f(x)= (x0)在 x=0 处连续，且 f(0)= ，则 a= 【 】（A）2（B） 2（C）（D）4 下列函数在 x=0 处不可导的是 【 】（A）arcsinx（B） 3x（C）（D）tanx5 曲线 f(x)=(x+2)3 的拐点是 【 】（A）(2 ，0)（B） (2，0
2、)（C） (1，0)（D）不存在6 01f(2x)dx= 【 】（A）2f(2)f(0)（B） 2f(1)f(0)（C） f(2)f(0)（D） f(1)f(0)7 设 z=x2y+xy2，则 = 【 】（A）2xy+y 2（B） x2+2xy（C） 4xy（D）x 2+y28 直线 与平面 4x2y3z3=0 的位置关系是 【 】（A）直线垂直平面（B）直线平行平面但不在平面内（C）直线与平面斜交（D）直线在平面内9 设 D=(x，y)1x1，0y1x 2，记 I1= dxdy，I 2=1 1(1x 2)dx，则 I1与 I2 的关系是 【 】（A）I 1=I2（B） I1I 2（C） I1
3、I 2（D）以上都不对10 等于 【 】（A）1（B）（C）（D）1二、填空题11 设 sinx 为 f(x)的原函数，则 f(x)=_12 函数 f(x)= 在1，2上符合拉格朗日中值定理的 =_13 若 f(ex)=1+e2x，且 f(0)=1，则 f(x)=_14 已知 f(x)的一个原函数为 ，则xf(x)dx=_15 已知 f(0)=1，f(1)=2 ，f(1)=3，则 01xf(x)dx=_16 设 a0，则(ax+b) 2002dx=_17 曲线 y= 的铅直渐近线为_18 设 D 为圆 x2+y2=1 及 x2+y2=4 围成的环形区域，则 x2dxdy=_19 设区域 D=(
4、x，y)1x1 ，0y2，则 =_20 设二元函数 z=ln(x2+y)，则 =_21 已知当 x0 时，( 1)与 sin2x 是等价无穷小量，求常数 a 的值22 计算23 求函数 f(x，y)=e 2x(x+y2+2y)的极值24 设 f(cos2x)=sin2x，且 f(0)=0，求 f(x)25 设 z=26 计算 xydxdy，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成27 计算 (1+x2)dxdy，其中 D 是由 y= ，x=1 及 x 轴所围成的平面区域28 曲线 y2+2xy+3=0 上哪点的切线与 X 轴正向所夹的角为 ?专升本（高等数学一）模拟试卷 90 答
5、案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 C 项为微分中值定理内容2 【正确答案】 D【试题解析】 不存在，故选 D3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以解得 a= ，选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 由 ，故 f(0)不存在，故 C5 【正确答案】 B【试题解析】 先寻找凹凸区间分界点f(x)=3(x+2) 2，f(x)=6(x+2) 令 f(x)=0，得 x= 2，当 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，所以 x= 2 为凹凸区间分界点，那么点(2，0)为拐点，应选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题
6、解析】 本题考查二元函数求偏导 =2xy+y28 【正确答案】 B【试题解析】 由题知，已知直线的方向向量 S=2，7，3，且此直线过点(3， 4，0)，已知平面的法向量 n=4，2，2，故 S.n=24+7(2)+(3)(2)=0，又因点(3，4，0)不在已知平面内，所以已知直线平行于已知平面，且直线不在平面内9 【正确答案】 A【试题解析】 由二重积分的性质及定积分的几何意义得，I 1= dxdy=(D 的面积)=I2=1 1(1x 2)dx故选 A10 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 sinx【试题解析】 因为 sinx 为 f(x)的一个原函数，所以 f(x
7、)=(sinx)=cosx，f(x)=sinx12 【正确答案】 【试题解析】 由拉格朗日中值定理有 =f()，解得 2=2，= ，其中 =13 【正确答案】 x3+x+1【试题解析】 因为 f(ex)=1+e2x，则等式两边对 ex 积分有f(e x)dex=(1+e2x)dex，f(e x)=ex+ e3x+C，得 f(x)=x+ x3+C，则 f(0)=C=1所以 f(x)=x+ x3+114 【正确答案】 cosx +C【试题解析】 因为 f(x)的一个原函数为 ，所以 f(x)=15 【正确答案】 2【试题解析】 由题设有 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x) 01 01
8、f(x)dx =f(1)f(x) 01=f(1)f(1)+f(0) =3 2+1=216 【正确答案】 17 【正确答案】 x=2【试题解析】 由于题目只求铅直渐近线，所给函数表达式为分式，可知因此所给曲线的铅直渐近线为 x=218 【正确答案】 19 【正确答案】 420 【正确答案】 dy【试题解析】 由于 函数 z=ln(x3+y)的定义域为 x2+y0在z 的定义域内 为连续函数，因此 dz 存在，且21 【正确答案】 因为当 x0 时，( 1)与 sin2x 是等价无穷小量，所以有=1由于当 x0 时，( 1)与 sin2x 是等价无穷小量，因此有 解得 a=222 【正确答案】 本
9、题考查定积分的计算可以利用换元积分法或凑微分法进行计算，注意换元时要将积分上、下限也同时变换23 【正确答案】 这是二元函数极值问题先求方程组 的一切实数解，得到所有驻点，再逐个代入 fxx(x，y)，f xy(x，y)，f yy(x，y)中，求出 A，B，C的值，然后确定 B2AC 的符号，由极值充分条件判定其是否为极值点即可具体求解如下：解方程组 得到驻点处，由于 fxx=2e，f xy=0，f yy=2e 故 A=2e ，B=0，C=2e从而 B 2AC=4e 20，A=2e0 所以 P( ，1)为极小值点，为函数的极小值24 【正确答案】 先根据 f(cos2x)=sin2x=1cos
10、 2x 可得 f(x)=1x，然后再积分就可得到 f(x)因为 f(cos2x)=sin2x=1cos 2x，所以 f(x)=1x，f(x)=f(x)dx=(1x)dx=x x2+C又因为 f(0)=0，所以 C=0，f(x)=x x225 【正确答案】 本题考查由复合函数的链式法则求偏导数设u=x+2y，v=3x 2+y2，则 z=uv，由复合函数的链式法则有26 【正确答案】 计算二重积分的基本思想是将其化为二次积分所给二重积分被积函数 xy 关于 x，y 对称，积分区域也较简单可以将二重积分转化为：先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分也可以转化为：先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分27 【正确答案】 区域 D 可表示为28 【正确答案】 将 y2+2xy+3=0 对 x 求导，得 2yy+2(y+xy)=0y= 欲使切线与 x 轴正向所夹的角为 ，只要切线的斜率为 1，即 亦即 x+2y=0 设切点为(x 0，y 0)，则 x0+2y0=0 又切点在曲线上，即 y02+2x0y0+3=0 由， 得 y0=1，x 0=2 即曲线上点 (2，1)，(2，1)的切线与 x 轴正向所夹的角为
