1、专升本（高等数学一）模拟试卷 92 及答案与解析一、选择题1 下列函数中在点 x=0 处可导的是 ( )2 设 f(x)在点 x0 处取得极值，则 ( )（A）f(x 0)不存在或 f(x0)=0（B） f(x0)必定不存在（C） f(x0)必定存在且 f(x0)=0（D）f(x 0)必定存在，不一定为零3 下列等式不成立的是 ( )4 点(一 1，一 2，一 5)关于 yOz 平面的对称点是 ( )（A）(一 1，2，一 5)（B） (一 1，2，5)（C） (1，2，5)（D）(1 ，一 2，一 5)5 设 ，则 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I1I 3I 2（C） I3I 1I
2、2（D）I 2I 1 I36 函数 的单调递减区间为（A）(一，一 2)，(2，+)（B） (一 2，2)（C） (一，0)，(0 ，+)（D）(一 2，0) ，(0，2)7 在空间中，方程 y=x2 表示 ( )（A）xOy 平面的曲线（B）母线平行于 Oy 轴的抛物柱面（C）母线平行于 Oz 轴的抛物柱面（D）抛物面8 下列反常积分收敛的是9 幂级数 的收敛半径为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设（A）1（B）一 1（C） 0（D）2二、填空题11 设 f(x)在 x=1 处连续，且 则 f(1)=_12 设 f(x)= 且 f(x)在点 x=0 处连续，则 a=_13
3、14 函数 y=x2 一 2x 在区间1，2 上满足拉格朗日中值定理条件的 =_15 ,则 k=_16 已知 f(x)的一个原函数为 则xf(x)dx=_17 曲线 的铅直渐近线为_18 空间直角坐标系中方程 y=x2 表示的曲线是_19 函数 f(x， y)=4(xy)一 x2 一 y2 的极大值点是_20 21 已知当 x0 时， 与 sin2x 是等价无穷小量，求常数 a 的值22 23 求证： 0xf(sin x)dx=24 求曲线 在点(1，3)处的切线方程25 26 判定 的敛散性27 已知 z= ，y=e t， x=t3+t，求28 设 f(x)为0，1上的连续函数，试证专升本（
4、高等数学一）模拟试卷 92 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 在 x=0 处无定义不可导，|x| 在 x=0 处不可导；|x| 2=x2 可导故选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 若点 x0 为 f(x)的极值点，可能为两种情形之一： (1)若 f(x)在点 x0 处可导，由极值的必要条件可知f(x 0)=0； (2) 如 f(x)=|x|在点 x=0 处取得极小值，但f(x)=|x|在点 x=0 处不可导这表明在极值点处，函数可能不可导故选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 利用重要极限的结构式，可知选项 C 不成立故选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 关
5、于 yOz 平面对称的两点的横坐标互为相反数故选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 所以I2I 1I 3故选 D6 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x)= 令 f(x)=0，分界驻点为 x1=一 2，x 2=2，且在 x=0 处无定义 当 x=一 2 时，左侧 f(x)0，f(x)单调递增，右侧( 到 x=0)f(x)0，f(x)单调递减； 当 x=2 时，左侧(到x=0)f(x)0，f(x)单调递减，右侧 f(x)0，f(x) 单调递增 所以，在(一 2，0)，(0，2)内函数 f(x)为减函数，故选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 方程 F(x， y)=0 表示母线平行于 Oz
6、 轴的柱面，称之为柱面方程故选 C8 【正确答案】 D【试题解析】 9 【正确答案】 A【试题解析】 10 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 由题设条件，有 =f(1)，则 f(1)=212 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查的知识点为函数连续性的判定 由于点 x=0 为函数的分段点，且在点 x=0 两侧 f(x)的表达式不同，因此应考查左连续、右连续13 【正确答案】 e -1【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=x2 一 2x 在1，2上满足拉格朗日中值定理的条件，15 【正确答案】 3【试题解析】 16 【正确答案】 【试
7、题解析】 因为 f(x)的一个原函数为 所以xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)一f(x)dx17 【正确答案】 x=一 2【试题解析】 由于题目只求铅直渐近线，所给函数表达式为分式，可知因此所给曲线的铅直渐近线为 x=一 218 【正确答案】 母线平行于 z 轴的抛物柱面19 【正确答案】 (2，一 2)【试题解析】 解得驻点为(2，一 2)A=f“ xx|(2,-2)=-2，B=f“ xy|(2,-2)=0，C=f“ yy|(2,-2)=一 2，则 B2 一 AC=一 40 有极值且 A=-20，有极大值，所以极大值点为(2，一 2)20 【正确答案】 s 一 u1【试题解析】 21
8、【正确答案】 由于当 x0 时， 与 sin2x 是等价无穷小量，因此有解得a=222 【正确答案】 23 【正确答案】 0xf(sin x)dx=一 0( 一 t)f(sint)dt=0(-t)f(sint)dt =0f(sint)dt 一0tf(sint)dt 因为定积分与积分变量无关，所以 0xf(sin x)dx=24 【正确答案】 由导数的几何意义知，曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处切线的斜率k=f(x0)切线方程为 yf(x0)=f(x0)(xx0)，由于 则 y|x=1=一 2，因此切线方程为 y 一 3=一 2(x 一 1)，即 2x+y 一 5=025 【正确答案】 设 u=x+2y，v=3x 2+y2，则 z=uv，由复合函数的链式法则有26 【正确答案】 设的几何级数，因此为收敛级数而 为公比 的几何级数，因此为收敛级数进而知27 【正确答案】 28 【正确答案】 由于二重积分区域 D 可以表示为： 0y1，0x ，其图形如图阴影部分所示 如果换为先对 y 积分，作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交，沿 y 轴正向看，入口曲线为 y=x2,出口曲线为 y=1，因此 x2y1，在区域 D 中 0x1因此 原等式成立
