1、专升本（高等数学一）模拟试卷 95 及答案与解析一、选择题1 设 f(0)=0，且 f(0)存在，则（A）f(0)（B） 2f(0)（C） f(0)（D）2 设有直线 l1: ，当直线 l1 与 l2 平行时，=（A）1（B） 0（C）（D）一 13 设 0xf(t)dt=xsinx，则 f(x)= ( )（A）sin x+xcos x（B） sin xxcos x（C） xcos xsin x（D）一(sin x+xcosx)4 设 f(x)=sin2x，则 f(0)= ( )（A）一 2（B）一 1（C） 0（D）25 设 z=xy+y，（A）e+1（B）（C） 2（D）16 设函数 f(
2、x)在区间x，1上可导，且 f(x)0，则 ( )（A）f(1)f(0)（B） f(1)f(0)（C） f(1)=f(0)（D）f(1)与 f(0)的值不能比较7 曲线 y=x-3 在点(1，1)处的切线斜率为 ( )（A）一 1（B）一 2（C）一 3（D）一 48 方程 x2+2y2 一 z2=0 表示的二次曲面是 ( )（A）椭球面（B）锥面（C）旋转抛物面（D）柱面9 设 y1，y 2 为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0 的两个特解，则 C1y1+C2y2 ( )（A）为所给方程的解，但不是通解（B）为所给方程的解，但不一定是通解（C）为所给方程的通解（D）不为所给方程
3、的解10 设 unavn(n=1，2，)(a0)，且（A）必定收敛（B）必定发散（C）收敛性与 a 有关（D）上述三个结论都不正确二、填空题11 12 比较积分大小： 12ln xdx_12(ln x)3dx13 设 ，则 y=_14 设 z=y2x，则15 设 y= ，则其在区间0，2 上的最大值为_16 微分方程 y“+y+y=0 的通解为 _17 设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为_18 过点 M0(1，一 2，0)且与直线 垂直的平面方程为_19 级数 的收敛区间为_(不包括端点)20 设二元函数 z=ln(x+y2)，则21 求函数 ，在点
4、x=0 处的导数 y|x=022 23 设 ，求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线24 求由曲线 y=2 一 x2，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积25 将 f(x)= 展开为 x 的幂级数26 计算 ，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成27 证明方程 3x 一 1 一 =0 在区间(0，1) 内有唯一的实根28 设 f(x)=x3+1 一 x0xf(t)dt+0xtf(t)dt，其中 f(x)为连续函数，求 f(x)专升本（高等数学一）模拟试卷 95 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 此极限属于 型，可用
5、洛必达法则，即2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为直线间的关系直线其方向向量分别为 s1=1，2， ，s2=2，4，一 1又 l1l2，则 故选 C3 【正确答案】 A【试题解析】 在 0xf(t)dt=xsin x 两侧关于 x 求导数，有 f(x)=sin x+xcos x故选 A4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)=sin2x 可得 f(x)=cos2x.(2x)=2cos2x，f(0)=2cos0=2故选 D5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =elne+1=e+1故选 A6 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x) 0 说明 f(x)在0，1上是增函数
6、，因为 10，所以 f(1)f(0)故选 A7 【正确答案】 C【试题解析】 由导数的几何意义知，若 y=f(x)可导，则曲线在点(x 0，f(x 0)处必定存在切线，且该切线的斜率为 f(x0)由于 y=x-3，y= 一 3x-4，y| x=1=一 3，可知曲线 y=x-3 在点(1，1)处的切线斜率为一 3故选 C8 【正确答案】 B【试题解析】 对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面故选 B9 【正确答案】 B【试题解析】 如果 y1，y 2 这两个特解是线性无关的，即 C，则 C1y1+C2y2 是其方程的通解现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解故选 B1
7、0 【正确答案】 D【试题解析】 由正项级数的比较判定法知，若 unvn，则当发散时，则 也发散，但题设未交待 un 与 vn 的正负性，由此可分析此题选 D二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 由于所给极限为 型极限，由极限的四则运算法则有12 【正确答案】 【试题解析】 因为在1，2上 ln x(ln x) 3，所以 12ln xdx 12(ln x)3dx13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 2xy 2x-1【试题解析】 只需将 x 看作常数，因此 y2x 可看作是幂函数，故15 【正确答案】 【试题解析】 所以 y 在0，2上单调递减于是ymax=y|x=0=1
8、6 【正确答案】 (其中 C1,C2 为任意常数)【试题解析】 征方程为 r2+r+1=0，解得：17 【正确答案】 y=f(1)【试题解析】 因为曲线 y=f(x)在(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，所以 y(1)=0，即斜率 k=0，则此处的切线方程为 y-f(1)=0(x-1)=0，即 y=f(1)18 【正确答案】 3(x 一 1)一(y+2)+z=0( 或 3xy+z=5)【试题解析】 因为直线的方向向量 s=3，一 1，1，且平面与直线垂直，所以平面的法向量 n=3，一 1， 1由点法式方程有平面方程为：3(x 一 1)一(y+2)+(z 一0)=0，即 3(x 一 1)一(y
9、+2)+z=0 19 【正确答案】 (1，3)【试题解析】 即当|x 一 2|1时收敛，所以有一 1x 一 21，即 1x3故收敛区间为(1，3)20 【正确答案】 dx【试题解析】 由于 函数 z=ln(x+y2)的定义域为x+y2 0在 z 的定义域内 为连续函数，因此 dz 存在，且21 【正确答案】 22 【正确答案】 利用洛必达法则：23 【正确答案】 由 ，可知 y=2 为水平渐近线；由可知 x=0 为铅直渐近线24 【正确答案】 由平面图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积为 V x=aby2(x)dx画出平面图形的草图 (如图所示)，则所
10、求体积为 0x1，0y2 一 x2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积V=01(2 一 x2)2-x2dx=01(45x2+x4)dx25 【正确答案】 所给 f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于26 【正确答案】 27 【正确答案】 令 f(x)= 则 f(x)在区间 0，1上连续根据连续函数的介值定理，函数 f(x)在区间(0 ，1)内至少有一个零点，即所给方程在 (0，1) 内至少有一个实根又 ，当 0x1 时，f(x)0因此，f(x)在0，1上单调增加，由此知 f(x)在区间(0 ，1)内至
11、多有一个零点综上可知，方程在区间(0，1)内有唯一的实根28 【正确答案】 将所给表达式两端关于 x 求导，得 f(x)=3x 2 一 0xf(t)dt-xf(x)+xf(x)=3x2 一 0xf(t)dt， 两端关于 x 再次求导，得 f“(x)=6x 一 f(x) 即 f“(x)+f(x)=6x 将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次微分方程的特征方程为 r2+1=0 特征根为 r1=i，r 2=-i 齐次方程的通解为 C1cos x+C2sin x 设非齐次方程的一个特解为 f0(x)由于 =0 不为特征根，可设 f0(x)=Ax，将 f0(x)代入上述非齐次微分方程可得 A=6因此 f0(x)=6x非齐次方程的通解为 f(x)=C 1cosx+C2sin x+6x 由初始条件 f(0)=1，f(0)=0，可得出 C 1=1，C 2=一 6 故 f(x)=cosx 一 6sin x+6x 为所求函数
