1、专升本（高等数学一）综合模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)在勘处不连续，则( )（A）f(x 0)必存在（B） f(x0)必不存在（C） 必存在（D） 必不存在2 下列反常积分收敛的是3 设有直线 ，则该直线必定( )（A）过原点且垂直于 x 轴（B）过原点且平行于 x 轴（C）不过原点，但垂直于 x 轴（D）不过原点，且不平行于 x 轴4 =0 是级数 收敛的( )（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题5 当 x时，函数 f(x)与 是等价无穷小量，则 =_。6 函数 y=ln(x+1)在区间0，1上满足拉格朗日中值定
2、理的 =_。7 幂级数 的收敛半径为_。8 求极限9 求10 求11 计算12 求xln(1+x 2)dx。13 设 z=xexsiny，求 。14 设 z= sin(x2-xy+y2)，求15 判定级数 (a0 ，ae)的收敛性。16 设 f(x)为连续函数，由 0xtf(t)dt=x2+f(x)所确定，求 f(x)。17 求微分方程 y“+y-2y=e-x 的通解。18 设有一根长为 l 的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为 S1，正方形面积为 S2，证明当 S1+S2 最小时， 。19 求 0x2cosxdx20 交换二重积分 I=01dx0x2(x，y)dy+ 1
3、2dx02-xf(x，y)dy 的积分次序。21 求 (x2+y2)dxdy，其中 D 为(x-a) 2+y2a2。22 求密度为 (x，y)= 的平面薄片 D 的质量，其中 D 为 y=x2+1，y=2x，x=0所围成的区域。23 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数。专升本（高等数学一）综合模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由极限与连续的关系可知 f(x)在点 x0 处不连续，是指连续性的三要素之一不满足，因此 C，D 都不正确，由于可导必定连续，可知 B 正确，事实上，若 f(x0)存在，则 f(x)在 x0 必定连续，与已知矛盾，故选 B。【知识模
4、块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 ，因此 A 所给积分发散；，因此 B 所给积分发散；，因此 C 所给积分收敛；，因此 D 所给积分发散，故选 C。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 首先需要指出，若直线的标准式方程为 则约定有 x-x0=0， ，这意味着所给直线在平面 x=x0 上。由直线的标准式方程 可知所给直线过原点，事实上，也可以将原点坐标(0，0，0)代入所给直线方程验证，可知其成等式，即(0，0，0)在所给直线上。 由于所给直线的方向向量 s=0，4，-3)，而 x 轴正向方向上的单位向量 i=1，0，0)。因此si，即所给直线与 x
5、轴垂直，故知所给直线过原点且与 x 轴垂直，应选 A。【知识模块】 空间解析几何4 【正确答案】 C【试题解析】 由级数收敛的必要条件可知 C 正确， D 不正确由于 为发散级数，且 =0，可知 B 不正确，A 也不正确，故选 C。【知识模块】 无穷级数二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 所给问题为无穷小量的比较问题，由于 =1，因此【知识模块】 极限和连续6 【正确答案】 -1【试题解析】 由于 y=ln(x+1)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 y= ，由拉格朗日中值定理可知：必定存在 (0，1)，使 f(1)-f(0)= .(1-0)，即 ln2-lnl=，可解得 = -1。
6、【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 所给幂级数为不缺项情形，a n=因而收敛半径【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 = 1+(x+2)+(x2+2x+4)+(xm-1+2xm-2+2m-2x+2m-1)=1+22+322+m2m-1=m.2m-(1+2+22+2m-1)=(m-1)2m+1。【试题解析】 化简分子，然后约分求解。【知识模块】 极限和连续9 【正确答案】 【试题解析】 这是 型，当 x0 +时，sin3x0，sin5x0，而 ln(sin3x)，ln(sin5x)。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 这是“0.”型不定式，若变
7、形为 型，不定式用洛必达法则时，函数变得简单，而变形为型后，用洛必达法则求导，函数更为复杂。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 可以令 u= 或直接凑微分。【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 由于xln(1+x 2)dx= ln(1+x2)d(1+x2)，令 t=1+x2,则xln(1+x 2)dx=令 u=ln t，=1，则ln tdt=tln t- .tdt=tin t-t+C1。故原式= t(ln t-1)+C=(1+x2)ln(1+x2)-1+【试题解析】 依据所给积分形式考虑使用分部积分求解。【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 因为
8、所以【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 令 u= ，=x 2-xy+y2，则 z=eu sin，于是有【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 由于此时 ，可知当 ae 时， 收敛；当 0ae 时， 发散。【试题解析】 所给级数为正项级数，u n= 不易判定，因此不求 。【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 由于 f(x)为连续函数，所以 0xtf(t)dt 出可导，进而可知 f(x)=j0xtf(t)dt-x2 可导，如果对所给关系式两端关于 x 求导，可得 f(x)=2x+f(x)，记 y=f(x)，则上式可化为 y-xy=-2x，为一阶线性微分方程，且此时为标准
9、形式，p(x)=-x，q(x)=-2x， 从而由所给关系可知，当x=0 时有 00tf(t)dt=02+f(0)，从而 f(0)=0，即 y | x=0，代入前面求得的通解 0=y|x=0 =C.e0+2，得知 C=-2，故 y=2- 为所求解。【试题解析】 所给关系式中含有变上限积分，为了能求得 f(x)，通常可以利用微分法消除变上限积分，将所给关系式化为微分方程。【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 y=C 1ex+C2e-2x-【试题解析】 所给问题为二阶常系数非齐次线性微分方程求解，其相应的齐次方程的特征方程为 r 2+r-2=0，特征根为 r1=1，r 2=-2，对应齐次方程的
10、通解为y=C1ex+C2e-2x。自由项 f(x)=e-x，=-1 不为特征根，设原方程的特解 y*=Ae-x，则y*=-Ae-x，y*“=Ae -x，代入原方程可得 A= ，因此 y*= 。故原方程的通解为 y=C1ex+C2e-2x- 。【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 将铁丝分为两段，长分别为 x，1-x，将长为 x 的部分构成半径为R 的圆形，则 2R=z，从而 R= ，故 S1=R2= ，S 2= S=S1+S2=S= 令 S=0 可求得 S 的唯一驻点 x= 又 S“= 0，可知 x= 为 S 的极小值点，由于实际问题存在最小值，可知 x= 为 S 的最小值点，此时 。【
11、试题解析】 所给问题为最小值问题，需先建立数学模型。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 0x2 cos2dx=0x2dsin x=x2sin x|0xdx2 =-20xsin xdx=20xdcos x=2(xcos x|0-0 cosxdx)=-2。【试题解析】 可以利用分部积分法求解。【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为 D1 与 D2。先依给定的积分限将积分区域 Di 用不等式表示：积分区域 D1，D 2 的图形如图 3 所示。区域 D1，D 2 有公共边 x=1，且由于 的解为(1，1)，而 的解为(1，1) ，可知 D1，D 2 可以合并为 D。如果换为先对x 积分，后对 y 积分，作平行于 x 轴的直线与 D 相交，沿 x 轴正方向看，入口曲线为 x= ，出口曲线为 x=2-y，因此 x2-y，在区域 D 中 0y1，于是【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 如图 5 所示，故【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 函数 f(x)可拆分为。【知识模块】 无穷级数
