1、专升本（高等数学二）模拟试卷 80 及答案与解析一、选择题1 设函数 f(x)= ，在 x=2 处连续，则 a= ( )2 设函数 f(x)= ，则 f(x)在点 x=0 处 ( )（A）可微（B）不连续（C）无切线（D）有切线，但该切线的斜率不存在3 函数 y=x3+12x+1 在定义域内 ( )（A）单调增加（B）单调减少（C）图形是凹的（D）图形是凸的4 设 f(x)=ex2 一 1，g(x)=x 2，则当 x0 时 ( )（A）f(x)是比 g(x)高阶的无穷小（B） f(x)是比 g(x)低阶的无穷小（C） f(x)是与 g(x)同阶的无穷小，但不是等价无穷小（D）f(x)与 g(x
2、)是等价无穷小5 设 z=ey21 sin(x2 一 1)，则 = ( )（A）一 2xyey21 cos(x2 一 1)（B） ey21 +ey21 sin(x2 一 1)（C）一 4xyey21 cos(x2 一 1)（D）4xye y2 1cos(x2 一 1)6 下列函数中，不是 e2x 一 e2x 的原函数的是 ( )7 经过点(1 ，0) ，且切线斜率为 3x2 的曲线方程是 ( )（A）y=x 3（B） y=x31（C） y=x3 一 1（D）y=x 3+C8 设 f(x)= x3 一 x，则 x=1 为 f(x)在一 2，2上的 ( )（A）极小值点，但不是最小值点（B）极小值
3、点，也是最小值点（C）极大值点，但不是最大值点（D）极大值点，也是最大值点9 下列各事件的关系式正确的是 ( )10 用 A 表示事件“ 甲考核通过，乙考核不通过” ，则其对立事件 为 ( )（A）“甲考核不通过，乙考核通过”（B） “甲、乙考核都通过”（C） “甲考核不通过”（D）“甲考核不通过或乙考核通过”二、填空题11 若 =ekx ，则 k=_12 =_13 设 f(x)= 在 x=0 处间断，则常数 a 与 b 应满足的关系是_14 函数 y= 的二阶导数 y=_15 若 dx= arcsin2x+C，则 (x)=_16 曲线 y=x2ex2 的水平渐近线为_17 设函数 f(x)=
4、lnx，则 12f(ex)dx=_18 11(1 一 x) dx=_19 设 z=l+xy 一 ，则 =_20 某灯泡厂生产 25W 电灯泡，随机地抽取 7 个进行寿命检查，结果如下(单位：小时)： 1487，1394，1507，1528，1409，1587，1500，该产品的平均寿命估计是_，该产品的寿命方差是_21 若 x=8，求 k 的值22 若 f(x)存在二阶导数，求函数 y=f(lnx)的二阶导数23 计算sin(ax) 一 dx24 求函数 y=x 的导数25 计算 01x2 dx26 z=x3f( )，其中 f 为可微函数，证明 =3z27 求函数 z=x2+y2xy 在条件
5、x+2y=7 下的极值28 某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 m3 池底的材料 30 元m 2，池壁的材料 20 元m 2，问如何设计，才能使成本最低?最低成本是多少元?专升本（高等数学二）模拟试卷 80 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 因为2 【正确答案】 D【试题解析】 直接求出 y= ，当 x0 时，y 3 【正确答案】 A【试题解析】 函数的定义域为(一，+)， 因为 y=3x2+120， 所以 y 单调增加，x(一，+) 又 y=6x， 当 x0 时，y 0，曲线是凹的；当 x0 时，y 0，曲线是凸的4 【正确答案】 C【试题解析】 =一 15 【
6、正确答案】 D【试题解析】 z=e y21 sin(x21)， =2xey21 cos(x21)，2xey21 cos(x2-1)=4xyey21 cos(x21)6 【正确答案】 D【试题解析】 2(e 2x 一 e2x )=4(e2x+e2x )e2x 一 e2x 7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 y=3x2，则 y=x3+C，又曲线过点(1 ，0)，得 C=一 1，故曲线方程为 y=x3 一 18 【正确答案】 B【试题解析】 f (x)=x2 一 1，驻点为 x=1，f (x)=2x，f (1)=20所以 x=1 为极小值点又所以 x=1 为极小值点，也是最小值点9 【正确答案】
7、 C【试题解析】 A B 是指事件 A 发生一定导致 B 发生，其等价说法是：若事件B 不发生，一定导致事件 A 不发生，即若，选项 A，D 不成立是显然的对于 B 项，一定要注意的是(A+B)一 A 是表示 A 与 B 事件之和再与事件 A 的差，不是字母的加减法，根据差事件的定义有(A+B)一 A=，则，即甲考核不通过或乙考核通过10 【正确答案】 D【试题解析】 设 A1=“甲考核通过”，A 2=“乙考核通过”二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 =e5k =e10 ，5k=10，则 k=212 【正确答案】 1【试题解析】 =1(ln(1+2x)2x,sin2x2x(x0 时)
8、13 【正确答案】 ab 【试题解析】 由于 ，又 f(0)=a，且f(0)在 x=0 处间断，则 ab14 【正确答案】 【试题解析】 y = ，y =15 【正确答案】 4 x【试题解析】 由，根据不定积分定义可知，有 ，故 (x)=4x16 【正确答案】 y=0【试题解析】 =0，y=0 是他的一条水平渐近线17 【正确答案】 e 1 e 2【试题解析】 本题考查的知识点是函数的概念及定积分的计算，因为 f(x)= ，则 f(ex)= =ex ，所以 12f(ex)dx=12exdx=e x 12=e1 e 2 注 f (ex)dxdf(ex)18 【正确答案】 【试题解析】 1 1(1
9、x)dx=1 1 dx 1 1x dx=1 1 dx0=201 dx=2 注 根据奇函数在对称区间上积分为零，所以 11x dx=0；由偶函数在对称区间上积分性质与定积分的几何意义得 1119 【正确答案】 【试题解析】 ，20 【正确答案】 1487，3855【试题解析】 随机抽取的 7 个数据构成一个样本，其平均值就是产品寿命的估计平均值为根据样本方差的公式求出的产品寿命方差为s2= (14871487)2+(13941487)2+(15071487)2+(15281487)2+(14091487)2+(15871487)2+(15001487)2= (0+8649+400+1681+60
10、84+10000+169)= 26983385521 【正确答案】 解 由题设知e3k=8，故 k=ln2【试题解析】 由于是“ ”型，先消去高阶无穷因子，再利用重要极限对分子分母分别进行变形，并求极限22 【正确答案】 解 y =f(1nx)(lnx)= ，y =【试题解析】 这是抽象函数的求导问题，而 f(lnx)又是复合函数，所以应用复合函数的求导公式来计算23 【正确答案】 解【试题解析】 虽有字母 a，b，但只有 x 才是积分变量，将 a，b 看作常数，采用凑微分法即可24 【正确答案】 解 等式两边同时取对数得 lny=lnx+ ln(1 一 x)一 ln(1+x2)，方程两边同时
11、对 x 求导有【试题解析】 对多个函数的连乘除求导数，用对数求导法可以减少计算量，在所给函数式两边分别取对数，再用隐函数求导方法求 y注意在 y表达式中不可保留y，而应用 x 的函数式代替25 【正确答案】 解 设 x=sint，则 dx=costdt，当 x=0 时，t=0 ；x=1 时，t= ，所以【试题解析】 因为式中有形如 的无理式，则应设 x=asint；若有时，则应设 x=atant；同理有 时，应设 x=asect，这是在解答此类题时必须掌握的26 【正确答案】 证明 因为，【试题解析】 这是抽象的求偏导数的问题，只需注意：对 x 求偏导时，y 当作常数，对 y 求偏导时，x 当
12、作常数，再用一元函数的求导公式即可27 【正确答案】 解 设 F(x，y，)=x 2+y2 一 xy+(x+2y 一 7)，由与解得 5x=4y，代入得 x=2，y= ，所以为极值【试题解析】 本题主要考查二元函数的条件极值，通常先构造拉格朗日函数，再求解。28 【正确答案】 解 设池底半径为 r，池高为 h(如图所示)， 则 r2h=，得 h=寿 又设制造成本为 S，则S=30r 2+202rh=30r 2202r =30(r2+ )，S =30(2r 一 )令S=0，得驻点 r=1因为 S =30(2+ )0，所以 r=1 为唯一的极小值点，即为最小值点【试题解析】 本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值所谓“成本最低”，即求制造成本函数在已知条件下的最小值，因此，本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知条件将其化为一元函数，并求其极值
