1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 极限 ( )（A）1（B） -1（C） 0（D）不存在2 设 则 =0 是函数 f()的 ( )（A）可去间断点（B）第二类间断点（C）连续点（D）跳跃间断点3 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则曲线 y=f()在(a ，b)内平行于 轴的切线 ( )（A）仅有一条（B）至少有一条（C）有两条（D）不存在4 设函数 ( )（A）（B）（C）（D）5 不定积分2 3d= ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 不定积分 =_。7 曲线 的渐近
2、线有_。8 曲线 y=(1 十 2)arctanx 在 =0 处的切线方程为_。9 设积分区域 D：1 2+y24，则 =_。10 微分方程 y =24 的通解为_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 求极限 。12 试确定常数 a，b 的值，使 f()在点 处可导。13 计算不定积分 。14 求不定积分 。15 设函数 z=f(esiny，3 2y)，且 f(u，v) 为可微函数，求 dz。16 设函数 z=z(，y)由方程 2+y3-yz2=0 确定，求 。17 计算 ，其中 D 为 2+y21。18 已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解分别为 y1-sin2，y 2=cos2
3、，求相应的微分方程。四、综合题19 过点 P(1，0)作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 轴围成一平面图形，求此图形绕 轴旋转一周所成的旋转休体的体积。20 证明方程 在区间(e，e 3)内仅有一个实根。广东专插本（高等数学）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 A3 【正确答案】 B4 【正确答案】 D5 【正确答案】 A二、填空题6 【正确答案】 7 【正确答案】 y=0 及 =-18 【正确答案】 y=9 【正确答案】 10 【正确答案】 y= 4+C12+C2+C3三、解答题解答时应写出推理、演算步
4、骤。11 【正确答案】 12 【正确答案】 由 f()的定义可知 f()分别在(-， )与( ，+)上连续，且 由 f()在点 = 处连续知 。 由于f()在 = 处可导，且 ， 从而 ，进而由，可得 。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 令 esiny=u，3 2y=v，则有 z=(u，v)。 利用微分的不变性得， dz=fu(u，v)du+f v(u，v)dv =f ud(esiny)+fv(32y) =fu(esinyd+ecosydy+fv(6yd+32dy) =(esinyfu+6yfv)d+(ecosyfu+32fv)dy。16 【正确答案】 设 F(，y，
5、z)= 2+y3-yz2，则 F=2-yz 2，F y=3y2-z2，F z=-2yz。所以， 。17 【正确答案】 根据积分区域与被积函数的特点，该二重积分用极坐标计算比用且角坐标计算简便。 积分区域 D 由 2+y21 化为 r1，02，故 18 【正确答案】 由于 y1=sin2，y 2=cos2 为二阶线性常系数齐次微分方程的特解，可知 a=0，b=2，即原方程有一对共轭复根 r1=2i， r2=-2i，因此对应的特征方程为 (r-2i)(r+2i)=0， 即 r 2+4=0， 从而可知相应的微分方程为 y +4y=0。四、综合题19 【正确答案】 设切线的斜率为 k，则切线方程为 y=k(-1)， 联立得是 k22-(2k2+1)+k2+2=0， 由于直线和抛物线相切，所以 (2k2+1)2-4k2(k2+2)=0， 化简得 4k2=1，联系实际解得 。 又 ，解得=3，代入 ，得 y=1，即切点坐标为(3，1)， 所以。20 【正确答案】 令 ，显然 f()在e，e 3上连续， 由根的存在定理得，在(e，e 3)内至少存在一个根 ，使得 f()=0，又 ，在(e，e 3)内f()3)内单调减少。综上所述，方程 在区间(e，e 3)内仅有一个实根。
