1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f() 01cos sint2dt，g() ，则当 0 时，g() 是 g()的 ( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价无穷小2 设 1，则在 a 处 ( )（A）f()的导数存在，且 f(a)0（B） f()取得极大值（C） f()取得极小值（D）f()的导数不存在3 设 f()是连续函数，且f()d F() C ，则下列各式正确的是 ( )（A）f( 2)dF( 2)C（B） (32)dF(32)C（C） f(e)edF(e )C（D）f(l
2、n2) F(ln2)C4 下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有 ( )（A）ysin2，0 ， （B） y， 1，1（C） ycos3 ，0，（D）y ，2，25 如果级数 un 收敛，则它的和是 ( )（A）u 1u 2u n（B）（C）（D）以上都不是二、填空题6 曲线 y 2 的水平渐近线是_，铅垂渐近线是_7 已知 ey 21，则 _8 广义积分 0 d1，其中 k 为常数，则忌 _9 微分方程 yy0 满足条件 y 1 2 的特解为_10 设函数 f()在 0 处可微，且 f(0)0，则当 很小时，f( 0)_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 设函数 f() 当 a 为何
3、值时，f()连续?12 求极限13 函数 yy()是由方程 ey6y 21 所确定，求 y(0)14 求不定积分15 已知 f(2) ，f(2)0， 02f()d1，求 012f(2)d(其中 f()有连续导数)16 求二重积分 ，其中 D 由 y ，y 和 可围成17 求微分方程 yysin 2 满足 的特解18 判断级数 的敛散性四、综合题19 设抛物线 ya 2bc 过原点，当 01 时，y0，又已知该抛物线与 轴及1 所围图形的面积为 ，试确定 a，b，c，使此图形绕 轴旋转一周形成旋转体的体积最小20 设函数 f(u)在(0，)内具有二阶导数，且 zf( )满足等式(1)验证 f(u
4、) 0； (2)若 f(1)0，f(1)1，求函数 f(u)的表达式广东专插本（高等数学）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 由极限的保号性知，在 a 的去心邻域内有 0，从而f()f(a)，即 f()在 a 处取极大值故选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 f(e )ed(e )d(e)(e )C故选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 B 选项中，函数在 0 处不可导；C 选项中，y(0)y(3)；D 选项中，函数在 1 处不可导；A 选项中，函数在0， 上连续，在(0，
5、)可导，y(0)y( )，符合罗尔定理条件，故本题选 A5 【正确答案】 C【试题解析】 令 Sn uk，若级数 un 收敛，则极限 Sn 存在，即级数uk 的和 uk 存在，故应选 C二、填空题6 【正确答案】 y2，0【试题解析】 2，则 y2 是曲线的一条水平渐近线 ，则 0 是曲线的一条铅垂渐近线7 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 求导 e2y 0，则 8 【正确答案】 【试题解析】 所给问题为计算广义积分的反问题，由于因此，应有1，故 k 9 【正确答案】 y2【试题解析】 y0，即 ，解得 yC，又 y 1 C 2，即微分方程的特解为 y210 【正确答案】 f( 0)
6、f( 0)【试题解析】 当很小时，有 f(0) 知 f(0)f( 0)f(0)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 由于 f()连续，则有 ae，即 a2e 12 【正确答案】 13 【正确答案】 令 F(，y)e y6y 21，则 F6y2，F ye y6， 故y ， 当 0 时，y0，y(0)0 则 y214 【正确答案】 sincos C15 【正确答案】 16 【正确答案】 如图，区域 D 可用极坐标表示为，17 【正确答案】 将原方程改写成 y sin 2，则将初始条件 代入得C12， 故原方程的特解为 y 18 【正确答案】 又 收敛，故级数收敛四、综合题19
7、【正确答案】 因为抛物线 ya 2bc 过原点，有 c0，又 01 时，y0，故该抛物线与 轴及 1 所围图形的面积为 01(a2b)d ， 于是2a3b2， 该平面图形绕 轴旋转一周形成的立体体积为要使 V 最小，令 a ，此时 b 于是 a ，b ， c0 时，此图形绕 轴旋转一周形成旋转体的体积最小20 【正确答案】 (1)求二元复合函数 zf( )的二阶偏导数中必然包含 f(u)及 f(u) 将 的表达式分别代入等式 0 中，就能找出 f(u)与 f(u)的关系式(2)解可降价的二阶线性微分方程的通解和特解 在方程 f(u) 0 中，令f(u)g(u)，则 f(u) g(u)，方程变为 g(u) 0，这是可分离变量微分方程，解得 g(u) ，即 f(u) ， 由初始条件 f(1)1 C11，所以 f(u) ，两边积分得 f(u)lnuC 2， 由初始条件 f(1)0 C20，所以 f(u)lnu
