1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 f() 在 1 处间断是因为 ( )（A）f()在 1 处无定义（B） f()不存在（C） f()不存在（D） f()不存在2 曲线 y 4 2426 的凸区间为 ( )（A）(2，2)（B） (，0)（C） (0，)（D）(， )3 若 f()的一个原函数为 e-，则f(2)d ( )（A）e -（B） e-2（C） e-2（D） e-24 下列函数中，在1，1上满足罗尔定理条件的是 ( )（A）yln(1 2)（B） y（C） y（D）y5 下列级数中发散的是 ( )（A
2、）（B）（C）（D）二、填空题6 已知 f(3)2， _7 函数 y 的水平渐近线是_8 设 f()e 2，则不定积分， f( )d_9 设 ue y(y)，则 _， _10 yy 20 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 设 f() 在 处连续，试求常数 a，b12 求极限13 设 yf() 是由方程 eyylnsin2 确定的隐函数，求 14 计算不定积分 I 15 平面图形由抛物线 y22 与该曲线在点( ，1)处的法线围成试求： (1)该平面图形的面积； (2)该平面图形绕 轴旋转一周形成的旋转体体积16 计算二次积分17 求微分方程(ysin sin 1)d cos
3、dy 0 的通解18 判定级数 的敛散性四、综合题19 曲线 y 2 与直线 y a(0a1)及 1 围成两个平面图形，求当 a 为何值时，两个平面图形绕 轴旋转一周所得的两个旋转体的体积之和最小20 证明方程 ln 在区间(e，e 3)内仅有一个实根广东专插本（高等数学）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 (1)0 (2)1，故 f()不存在，本题选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 y4 3486，y12 248，令 y0，则22，故应选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 f()de C，(2)d f(2
4、)d(2) (e-2C) e-2(2)e 2 ，故应选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 该题只需按定理的条件逐一验证 A 项，因1，1内包含 1该点处 ln(1 2)无定义，从而函数在闭区间1，1上不连续，不满足定理的第一个条件，不合要求； B 项，在1，1上处处连续是满足的，但是函数在 0 处不可导，从而函数在(1，1)内不是处处剪导的，不满足定理的第二个条件，不合要求； C 项，f() 在( 1，1)内处处可导，处处连续，且 f(1)f(1)，故该函数在区间1，1 上满足定理的各个条件，符合要求，故应选该选项； D 项，显然 f(1)、f(1)不等，所以不满足定理的第三个条件，不合要求
5、5 【正确答案】 C【试题解析】 1，则级数 发散，故应选 C二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 7 【正确答案】 y0【试题解析】 0，故函数的水平渐近线为 y08 【正确答案】 e C【试题解析】 e ，故f( )de de C 9 【正确答案】 e y(yy 21)，e y(2y1)【试题解析】 令 se y， ty，则t.e y.ys.1(y)y ye ye y(yy 21)， t.e y.s.1(y)e y eye y(1 2y)10 【正确答案】 y 或 y0【试题解析】 yy -2，当 y0 时，分离变量有 d，两边积分得d ，即 C，故通解为 y ，其中 C 为任意常数
6、，当 y0 时，也是方程的根三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 由 f()在 0 处连续，则 f(0) ，即12 【正确答案】 13 【正确答案】 两边同时对 求导，得 e y(yy) yln2cos2， 则 y14 【正确答案】 15 【正确答案】 (1)因曲线 y2 在点( ，1)处的导数为 1，所以在点( ，1)处的曲线的法线方程为 y1( )，即 y ，于是，曲线 y22与法线 y 围成的平面图形如图所示： 求解方程组 ，得交点 故所求面积为 A； (2)所求旋转体的体积为 V16 【正确答案】 应交换积分次序，17 【正确答案】 方程可化为 ytansec ta
7、n，这是一阶线性微分方程，利用通解公式可得18 【正确答案】 1，又 收敛，故级数收敛四、综合题19 【正确答案】 由 2a 得曲线 y 2 与直线 y a 的交点横坐标 10， 2a，所以 则 V(a)0， 得 a ，且 V( )20，所以，当 a 时， V1V 2 最小20 【正确答案】 令 f()ln ，显然 f()在e，e 3上连续，f(e) 0， f(e 3)lne 3 3e 22 6e 20， 由零点定理得，在(e， e3)内至少存在一个根 ，使得 f()0 又 f() ，在(e，e 3)内 f()0，所以 f()在(e,e 3)内单调减少 综上所述，方程 ln在区间(e，e 3)内仅有一个实根
