1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 =( )。（A）（B）（C） 2（D）42 要使 f(x)= 在点 x=0 处连续，应给 f(0)补充定义的数值是( )。（A）km（B）（C） lnkm（D）e km3 设 f(x2)=x4+x2+1，则 f(1)=( )。（A）1（B） 3（C） -1（D）-34 已知 f(x)=(x-3)(x-4)(x-5)，则 f(x)=0 有( )。（A）一个实根（B）两个实根（C）三个实根（D）无实根5 已知 f(x)的一个原函数为 cosx，g(x)的一个原函数为 x2，则 fg
2、(x)的一个原函数为( )。（A）x 2（B） cos2x（C） cosx2（D）cosx6 设 e-x 是 f(x)的一个原函数，则 =( )。（A）e -x(x+1)+C（B） -e-x(x+1)+C（C） e-x(1-x)+C（D）e -x(x-1)+C二、填空题7 。8 函数 f(x)=2x2-x+1 在区间 -1，3 上满足拉格朗日中值定理的 。9 ，其中 D 为以点 O(0，0)、A(1，0)、B(0，2)为顶点的三角形区域。10 设 f(x，y)= 。11 交换二次积分次序 。12 微分方程 yy+xey=0 满足 y x=1=0 的特解为。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。
3、13 设函数 在 x=0 处可导，求 a、b 的值。14 求极限 。15 求曲线 e2x+y-cos(xy)=e-1 过点(0，1)的切线方程。16 求 。17 求 01xarcsinxdx。18 求方程 y”+y-2y=x2 的通解。19 f(x)= 求 f”(x)。20 已知 。四、综合题21 求 y=(x-1) 的极值与单调区间。22 已知曲线 y=f(x)过原点且在点(x，y)处的切线斜率等于 2x+y，求此曲线方程。23 某地域人口总数为 50 万，为在此地域推广某项新技术，先对其中 1 万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广。设经过时间 t，已掌握此新技术的人数为
4、x(t)(将 x(t)视为连续可微变量 )，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为 k，(k0)，求 x(t)。五、证明题24 证明：当x2 时，3x-x 32。25 已知 f(x)有二阶连续导数，证明xf”(2x-1)dx= f(2x-1)- (2x-1)+C。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 ，当 x时，t0，则。2 【正确答案】 A【试题解析】 lne km=km， f(0)=km，选 A 项。3 【正确答案】 C【试题解析】 (1) f(x2)=
5、(x2)2+x2+1， f(x)=x 2+x+1。 (2)f(x)=2x+1，f(-1)=-2+1=-1， 选 C 项。4 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)在3，4连续在(3，4)， 可导且 f(3)=f(4)=0， f(x)在3，4满足罗尔定理条件， 故有 f(1)=0(312)=0，4 25 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)=(cosx)=-sinx，g(x)=(x 2)=2x， fg(x)=-sin2x。 (2)(cos2x)=2cosx(-sinx)=-sin2x， 选 B 项。6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=e -x， f(x)=F(x)=-e
6、-x， 原式=xdF(x)=xF(x)-F(x)dx=xe -x-e-xdx=(x+1)e-x+C 选 A 项。二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 本题是考查幂指函数求极限，先把极限变形为 ，此题是形如 1型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解：，注：等价无穷小替换 ，x0 +。8 【正确答案】 =1【试题解析】 由已知可得 f(x)=4x-1，令 4x-1 3，解该方程即为满足拉格朗日定理的 =1。9 【正确答案】 -1【试题解析】 01xf(x)dx 01xdf(x)xf(x) 01 01f(x)dxf(1)3231。10 【正确答案】 【试题解析】 。11 【正确答案】
7、 【试题解析】 由原二次积分可知原函数的积分区域 D 如图 a，显然原二次积分是按 X型看待的，现在我们按照 Y型看待，如图 b，则原二次积分可以写成。12 【正确答案】 【试题解析】 分离变量得ye -ydyxdx，两边积分得ye -ydyxdx，解得(y+1)e -y ，代入 y x=1 0，得 C ，即特解为(y+1)e -y 。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 解：f(x)在 x=0 处连续，f(0)=a，f(0-0)=1 ，f(0+0)=a，因为 f(0-0)=f(0+0)=f(0)，所以 a=1。又 f(x)在 x=0 处可导，。因为 f-(0)=f+(0)
8、，所以b=1。14 【正确答案】 解：。15 【正确答案】 解：方程两端 y 对 x 求导： e 2x+y(2+y)+sin(xy)(1+y)=0。 将x=0，y=1 代入得 y=-2， 所求切线方程为 y-1=-2x，即 2x+y-1=0。16 【正确答案】 解：由于 x2dx 可以看成是关于 x3 的函数，所以17 【正确答案】 18 【正确答案】 解：对应的齐次方程的特征方程为 2+-2=0，得 1=-2， 2=1，于是对应的齐次方程的通解为 =C1e-2x+C2ex(其中 C1，C 2 是任意常数)，因为 =0 不是特征根，所以设特解为 y*=Ax2+Bx+C。代入原方程，得，故原方程
9、的通解为。(其中 C1，C 2 是任意常数)19 【正确答案】 20 【正确答案】 四、综合题21 【正确答案】 解：(1)定义域 x(-，+)(2)(3)可能的极值点令 y=0，得驻点 x= y不存在，得 x=0(4)列表所以，函数在(-，0)、 ( ，+)内单调增加，在 (0， )内单调减少；函数在 x=0 点取到极大值y=0，在 x= 处取到极小值 y= 。22 【正确答案】 解：由题意得，y=2x+y，y(0)=0 ，则变为求一阶线性非齐次微分方程特解，上式化为标准形式，y-y=2x，代入求解公式，得 y=e dx(ex-dt2xdx+C)=ex(2xe-xdx+C) =ex(-2xd
10、e-x+C)=ex(-2xe-x+2e-xdx+C) =ex(-2xe-x-2e-x+C)=-2(x+1)+Cex。 把 y(0)=0 代上式，可得 C=2。 所以上述微分方程特解为 y=-2x-2+2ex，即为所求曲线方程。23 【正确答案】 解：令 y=x(t)，由题意 y=ky(50-y)y(0)=1lny-ln(50-y)=50kt+C， =50kt+C 当 t=0 时，C=-ln49，特解为 =50kt-ln49。五、证明题24 【正确答案】 令 f(x)=3x-x3，x-2 ，2， f(x)=3-3x 2=0，x=1，f(-1)=-2 ，f(1)=2，f(2)=-2 ， f(-2)=2； 所以 fmin=-2，f max=2，故-2f(x)2，即3x-x 32 。25 【正确答案】
