1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列极限求解中，正确的是( )。2 设 y=f(x)可导，则 f(x-2h)-f(x)等于( )。（A）f(x)h+o(h)（B） -2f(x)h+o(h)（C） -f(x)h+o(h)（D）2f(x)h+o(h)3 设函数 f(x)的一个原函数为 sin2x，则 =( )。（A）cos4x+C（B） cos4x+C（C） 2cos4x+C（D）sin4x+C4 设二重积分的积分域 D 是 x2+y21，则 等于( )。（A）（B） 4（C） 3（D）55 在区间-1， 1上，不
2、满足罗尔定理的函数是( )。6 在空间坐标系中，下列为平面方程的是( )。（A）y 2=x（B）（C）（D）3x+4z=0二、填空题7 微分方程 y”+y=0 满足 的解是。8 若 f(2)=2，则 =。9 过点 P(1，2，3)且与直线 ，平行的直线方程为。10 =。11 已知 x0 时，a(1-cosx)与 xsinx 是等级无穷小，则 a=。12 交换二重积分的次序： =。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 若 f(x)在 x=0 处连续，求 a，b，c。14 求不定积分x 2e-xdx。15 求 。16 求函数 (x0)哪一点上的切线与直线 y=x 成 60角?17 u=f(x
3、+y，x 2，ysinx)，求 。18 求微分方程 xy-y=x2ex 的通解。19 求级数 的和数。20 当 k 为何值时，广义积分 收敛?当 k 为何值时，这个广义积分发散?又当 k 为何值时，广义积分取得最小值?四、综合题21 设 x(0，1)，证明：(1+x)ln 2(1+x)2。22 证明：(1)f(x)在 x=0 处可微；(2)f(x) 在 x=0 处不可微。五、证明题23 设 f(x)在1，2上具有二阶导数 f”(x)，且 f(2)=f(1)=0，如果 F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点 (1，2)，使 F”()=0。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 14 答案与解
4、析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据洛必达法则可知。2 【正确答案】 B【试题解析】 。3 【正确答案】 A【试题解析】 根据函数的定义，f(x)=F(x)=(sin2x)=2cos2x，f(x)=-4sin2x，f(2x)=-4sin2x，所以f(2x)dx=-4sin4xdx=cos4x+C。4 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 如图所示：0r1，02。所以。5 【正确答案】 C【试题解析】 罗尔定理必须满足下列条件：函数 f(x)在a，b 上连续，在(a，b)内可导，并且 f(x)在区间端点的函数值相等。6 【正确答
5、案】 D【试题解析】 平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0 故选 D 项。另外：A 项：y 2=x 是一条抛物线 B 项： 是两条平面正交线，显然是一空间直线 C 项：是空间直线方程的一般式。二、填空题7 【正确答案】 y=sinx【试题解析】 y”+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx。 由题意得：C 1=0，C 2=1，所以方程的解为：y=sinx。8 【正确答案】 -12【试题解析】 -6f(x)-12 。9 【正确答案】 【试题解析】 设所求的直线为 l，其方向向量为 ，已知直线的方向向量取为n1n2=1，-2，33，1，-2=1，11，7，因为两直线平行，故 =1，1
6、1，7直线方程为 。10 【正确答案】 0【试题解析】 。11 【正确答案】 2【试题解析】 由题意 ，所以 a=2。12 【正确答案】 【试题解析】 通过作图可得出结论。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 解：因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0-0)=f(0+0)=f(0)，得： b=ce-4=1 所以 c=e4 b=1，a 为任意实数。14 【正确答案】 解：x 2e-xdx=-x2d(e-x)=-x2e-x+2xe-xdx=-x2e-x-2xd(e-x)=-x2e-x-2xe-x-2e-x+C。15 【正确答案】 16 【正确答案】 解：设切线斜率为 k
7、2 k1=1 。17 【正确答案】 解： =f1+f22x+f3ycosx， =f”11+f”13sinx+2x(f”21+f”21sinx)+cosxf3+ycosx(f”31+f”33sinx)。18 【正确答案】 解：原方程化为：y- =xex， y= =x(exdx+C)=x(ex+C)=xex+Cx。19 【正确答案】 解：e x= ，x (-，+)，对上式两边求导得：e x=。xe x= 。对上式两边再次求导，得： (x+1)ex= x(-，+)，于是，对上式两边取 x=1，得 =2e。20 【正确答案】 解：当 k1 时，令 f(k)=0，得驻点 。但当 k0 时，f(k)k 0
8、 时，f(k)0 ，所以，当 k=k0=1-时，广义积分取极小值，也就是最小值。四、综合题21 【正确答案】 证明：原不等式等价于F(x)0，F(x)在 x0 上严格单调上升，即 F(x)F(0)=0。即原不等式得证。22 【正确答案】 证明：(1) ，f(x)在 x=0 处可微，(2)当 x0 时， ，因此结合结论(1)有，于是，我们可以计算一下 f(x)在 x=0 是否可微， 不存在所以 f(x)在 x=0 处不可微。注：可微即可导。五、证明题23 【正确答案】 证明：设 G(x)=F(x)-(x-2)f(1)，则 G(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导， 而 G(1)=f(1)，G(2)=f(2)， 于是由 f(2)=f(1)=0 知 G(1)=G(2)。 由罗尔定理知在(1 ，2) 内至少有一点 1 使 G(1)=0，即 F(1)=f(1)。 又由 F(x)=f(x)+(x-1)f(x)知 F(1)=f(1)。 显然 F(x)=f(x)+(x-1)f(x)在1， 1上满足罗尔定理条件。 于是在(1， 1)内至少有一点 使 F”()=0， 即在(1，2)内至少有一点 使 F”()=0。
