1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 ，则常数 k 等于( )。（A）1（B） 2（C） 4（D）任意实数2 下列命题中正确的是( )。（A）若 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0（B）若 f(x)在(a ，6) 内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值（C）若 f(x0)=0，则 x0 必是 f(x)的极值点（D）若 f(x)在点 x0 处可导，且点 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=03 若 x=2 是函数 y=x-ln( +ax)的可导极值点，则常数 a 值为( )。（A）-1（B）
2、（C）（D）14 若 y=arctanex，则 dy=( )。5 是级数 收敛的( )条件。（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）既非充分又非必要6 设函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程 f(x)=0 的实根个数为 ( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 。8 设 在 x=0 处连续，则 a。9 的水平渐近线是。10 ，则 k 的值为。11 设曲线 y=x2+x+2 上点 M 处的斜率为-3 ，则点 M 的坐标是。12 设向量 a， b，令a+b=a-b ，a=3，-5，8，b=-1，1，z，则z。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设函数 y
3、=y(x)由方程 ex-ey=xy 确定，求 。14 y=(1-x2)cosx，求 y(n)。15 求 。16 计算定积分 。17 计算 。18 求微分方程 x2y=xy-y2 的通解。19 z=f(x2-y2，xy)，求 。20 已知 (1)f(x)在 x=0 处连续，求 a;(2)求 f(x)。四、综合题21 求曲线 ，z=t 2 过点( ，2，1)的切线方程及法平面方程。22 从(0 ，0) 作抛物线 y=1+x2 的切线，求： (1)由切线、抛物线所围成区域的面积； (2)上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体积。23 甲、乙两村合用一变压器(如图)，若两村用同样型号线架设输电线，问变压器
4、设在输电干线何处时，用线最短?五、证明题24 求：(1)函数的单调区间及极值；(2)函数凹凸区间及拐点；(3)渐近线。25 某曲线在(x，y) 处的切线斜率满足 y=- +4x2，且曲线通过 (1，1)点，(1)求y=y(x)的曲线方程； (2)求由 y=1，曲线及 y 轴围成区域的面积； (3)上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知，x=2 时，x 2-3x+k=0 k=2。2 【正确答案】 D【试题解析】 根据极值存在的必要条件与充分条件
5、。3 【正确答案】 C【试题解析】 。由题意得 f(2)=0，可知a= 。4 【正确答案】 B【试题解析】 。5 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛定义、性质可知答案为 B 项。6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)是四次多项式，故 f(x)=0 是三次方程，有 3 个实根。二、填空题7 【正确答案】 e 6【试题解析】 。8 【正确答案】 -1【试题解析】 。9 【正确答案】 y=1【试题解析】 。10 【正确答案】 【试题解析】 。11 【正确答案】 (-2，4)【试题解析】 y=2x+1=-3 x=-2，代入到原方程得 y=4。12 【正确答案】 1【试题解析】 因为 a
6、+b=2，-4，8+z ，a-b=4，-6，8-z，由a+b=a-b 有，解得 z=1。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 解：方程 ex-ey=xy，两边对 x 求导数得 ex-eyy=y+xy，故。14 【正确答案】 解：y (n)=(1-x2)(cosx)x(n)+Cn1(1-x2)(cosx)(n-1)+Cn2(1-x2)”(cosx)(n-2)15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 解： 01ysinydy=-01ydcosy=-ycosy 01+01cosydy=-cos1+siny 01=sin1-cos1。18 【正确答案】 将原方程变
7、形为： ，则 y=p+xp，代入原方程得：xp=-p 2，分离变量得 ，两边积分，得。19 【正确答案】 解： =f12x+f2y =2xf11(-2y)+f12x+f2+yf”21(-2y)+f”22x=-4xyf”11+2x2f”12+f2-2y2f”21+xyf”22。20 【正确答案】 四、综合题21 【正确答案】 解： ，z t2t ，该点为 t=1 时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为 S ，1， 2，所求切线方程为：，法平面方程为： (y2)+2(z1)0。即：2x8y+16z10。22 【正确答案】 解： 设切点为(x 0，1+x 02)，ky2x 0，则切线方程 y2x
8、 0x，那么 1+x022x 02，所以 x01，即切线方程为y2x，S 201(1+x2-2x)dx= ，。23 【正确答案】 解：设变压器所在地 C 距 A 处 x 公里，两村输电线总长为 y，则移项，平方，整理得125x 2+6x-90。解得 x12，由于驻点唯一( 负值舍去)。故变压器放在距 A地 12km 处，所需电线最短。五、证明题24 【正确答案】 由 ，得函数的定义域为xxR，且 x1，y=，令 y=0 得驻点 x=0，x=3，这里 x=1 不能算作不可导点，因为它不在定义域内。 列表讨论(这里虽然不对 x=1 这点讨论，但是由于它是函数的间断点，把定义域分开了，所以在表中也单列出来)由上表可得单调递增区间为(-，1)，(3，+)；单调递减区间为(1，3)。极小值为f(3) 。 由 ，令 y”=0 得 x=0，这里同样x=1 也不能算作二阶不可导点，因为它不在定义域内。由于只有一个二阶导数等于零的点，所以这里就不需要列表讨论了，简单叙述一下即可因为当 x0 时，y”0，所以拐点为(0，0) 凹区间为(0，1) ，(1，+)；凸区间为(-，0)。对于渐近线，由于，所以 x=1 是一条垂直渐近线。而 ，所以没有水平渐近线。25 【正确答案】
