1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列极限求解正确的是( )2 函数 的单调减少区间为( )（A）(一， +)（B） (一，一 1)(一 1， +)（C） (0，+)（D）(一， 0)3 定积分 02|x-1|dx=( )（A）0（B） 2（C）一 1（D）14 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线部分 Lxdy 一 2ydx 的值为( )5 下列结论正确的是( ) 6 设 f(x)= ，则 f(x)=( )（A）sinx 4（B） 2xsinx2（C） 2xcosx2（D）2xsinx
2、4二、填空题7 设函数 f(x)= 在点 x=0 处连续，则常数 k=_8 若 f(x)为可导的偶函数，则 f(0)=_9 设 则 01f(x)dx=_10 设 a=m，3，一 4与 b=2，m，3互相垂直，则 m=_11 平面 xy+z+3=0 与平面 2x 一 2y+2z+3=0 之间的距离 d=_12 设 则 dz|(1,2)=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 z= ，求 dz15 xf(x)dx=arcsinx+C，求16 若函数 y=y(x)是由参数方程17 设 y=f(x)满足 y“-3y+2y=2ex，其图形在(0，1)处与曲线 y=x2 一 x+1 在该点处切
3、线重合，求 f(x)表达式18 求直线 在平面 x+y+2z 一 1=0 上的投影线方程19 求二重积分 1+x3 一(x 2+y2)dxdy，其中 D 为 x2+y22ay20 将函数 y=xlnx 在 x=1 处展开为幂级数，并指出成立范围四、综合题21 求函数 f(x)=x3 一 3x+1 的单调区间和极值22 已知平面图形由抛物线 y=x2、y= 一 x2+8 围成 (1)求此平面图形的面积； (2)求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积23 已知某厂生产 x 件产品的成本 C=25 000+200x+ (单位：元)试问：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2)若产品
4、以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?五、证明题24 设函数 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=2 证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 2f()+f()=0江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 故区间为(一，-1)(一 1，+) 故选 B项3 【正确答案】 D【试题解析】 原式= 01(1 一 x)dx+12(x 一 1)dx= =14 【正确答案】 B【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部
5、分，可表示为5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 利用变上限积分求导法则，f(x)=sinx 4(x2)=2xsinx4二、填空题7 【正确答案】 ln2【试题解析】 由连续的定义，所以 k=ln28 【正确答案】 0【试题解析】 (1) f(x)为偶函数， f(一 x)=f(x)(2)f(x)可导，一 f(一 x)=f(x)故一 f(0)=f(0)，zf(0)=0 即 f(0)=09 【正确答案】 【试题解析】 令 01f(x)dx=A，10 【正确答案】 【试题解析】 ab ，a.b=0，2m+3m 一 12=0，11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确
6、答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 r 2 一 3r+2=0 得 r1=1,r2=2，所以 Y=C1ex+C2e2x，y*=Axe x，则 y*=A(1+x)ex，y*“=A(2+x)e x，代入原方程得 A(2+x)ex 一 3A(1+x)ex+2Axex=2ex，化简得 A=一 2 所以 y*=2xex，所以 y=C1ex+C2e2x 一 2xex，则 y=C1ex+2C2e2x 一 2(1+x)ex 根据已知条件，图像经过点(0，1) ，所以有 y(0)=1；又切线
7、的斜率 k=(2x 一 1)|x=0=一 1，所以有 y(0)=一 1，这样就得到了两个初始条件，分别代入得C1+C2=1，C 1+2C22=一 1，解得 C1=1，C 2=0，因此 y=ex 一 2xex18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 y=xlnx=(x 一 1)lnx+lnx=(x 一 1)ln(1+x 一 1)+ln(1+x 一 1)=四、综合题21 【正确答案】 函数的定义域为(一，+) ， f(x)=3x 23，令 f(x)=0，得驻点x1=一 1，x 2=1， 列表得：函数f(x)的单调增区间为(一，一 1)和(1，+)，单调减区间为一 1，1f(一 1
8、)=3 为极大值，f(1)=一 1 为极小值22 【正确答案】 用定积分求面积和体积，如图， (1)所围平面图形的面积为 S=-22(8 一 x2 一 2x2)dx= (2)此平面图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积为 V=23 【正确答案】 (1)设平均成本为 y，则令 y=0，得 x=10 000，此即为所求(2)设利润为 L，则 L=500x-(25 000+200x+ 令 L=0，得 x=6 000，此即为所求五、证明题24 【正确答案】 对 f(x)在0 ，1上应用罗尔定理，知至少存在一点 (0，1)使 f()=0 令 F(x)=x2f(x)则 F(0)=F()=0 对 F(x)在0，上应用罗尔定理，知至少存在一点(0， )c(0，1)使 F()=2f()+2f()=0 因为 0，所以有 2f()+f()=0
