1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 则下列正确的是( )2 下列函数在一 1，1 上满足罗尔定理条件的是( )（A）y=e x（B） y=1+|x|（C） y=1 一 x2（D）3 设 f(x)=x(x2 一 12)(x2 一 22)(x2 一 n2)，则 f(0)=( )（A）(n!) 2（B） (一 1)n(n!)2（C） n!（D）(一 1)nn!4 设 f(x)=alnx+bx3 一 3x 在 x=1，x=2 取得极值，则 a，b 为( )5 设 e-2x 是 f(x)的一个原函数，则（A）2e -2x（
2、B） 8e-2x（C）一 2e-2x（D）4e -2x6 若 f(x)的一个原函数为 ln2x，则xf(x)dx=( )（A）lnxln 2x+C（B） 2lnx+ln2x+C（C） 2lnxln2x+C（D）lnx+ln 2x+C二、填空题7 8 设9 交换二次积分得 01dx0xf(x,y)dy+12dx02-xf(x，y)dy=_10 幂级数 的收敛半径 R=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 设 y=xtanx，求 y12 分析 f(x)= 的间断点，并指明其类型13 14 设 z=f(2x+3y，xy)其中 f 具有二阶连续偏导数，求15 在一 1 和 2 之间求值 C，使
3、 y=一 x，y=2x ，y=1+Cx 所围图形面积最小16 17 求 2yy+2xy2= 的通解18 计算二重积分 其中 D 是第一象限内圆 x2+y2=2x 及直线y=0 所围成的区域四、综合题19 设函数 g(x)= 问 g(x)是否有间断点、不可导点?若有请指出20 某厂生产某产品，年产量为 x(百台)，总成本 C(万元)，其中固定成本为 2 万元，每产 1 百台成本增加 1 万元，市场上每年可销售此种产品 4 百台，其销售总收入R(x)是 x 的函数， 问每年生产多少台时总利润最大?21 设有抛物线 y=4xx2， (1) 抛物线上哪一点处的切线平行于 x 轴?写出该切线方程 (2)
4、求由抛物线与其水平切线及 y 轴围成的平面图形面积 (3)求该平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积五、证明题22 设 f(x)在a，b上连续(ab) ，且 f(x)0证明方程江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 逐一验证：对于 A 项，y=e x,e-1e，不满足 f(一 1)=f(1)，选项B，y=1+|x| ，在 x=0 处不可导，不满足， D 项 y= 在 x=0 处不连续，故排除，选 C 项3 【正确答案】 B【试题解析】 令 g(x)=(x2 一 12
5、)(x2 一 22)(x2 一 n2) f(x)=x.g(x) f(x)=g(x)+xg(x) f(0)=g(0)+0=(一 1)2(一 2)2 (一 n)2=(一 1)n(n!)2 选 B 项4 【正确答案】 B【试题解析】 a=32b (2)f(2)=0， a=68b，一得 6b3=0 得 代入得 a=2 故 a=2，答案选 B 项5 【正确答案】 D【试题解析】 (2)F(x)=e-2x， f(x)=(e -2x)=一 2e-2x (3)原式=一 2(一 2)e-2x=4e-2x 选 D 项6 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=ln 2x， xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)
6、-f(x)dx=2lnx-ln2x+C，选 C 项二、填空题7 【正确答案】 8 【正确答案】 e xy(ysinx+cosx)【试题解析】 =exy.ysinx+exy.cosx=exy(ysinx+cosx)9 【正确答案】 01dyy2-yf(x，y)dx10 【正确答案】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 12 【正确答案】 间断点为一 1，1f(一 1 一 0)=一 1，f( 一 1+0)=1，x=一 1，第一类跳跃间断f(1 一 0)=1，f(1+0)=一 1，x=1，第一类跳跃间断13 【正确答案】 14 【正确答案】 根据复合函数求偏导数法则，为方便表示
7、令=2x+3y，v=xy， =2f+yfv。 =2(fmn.3+fmn.x)+y(ymn.3mn.x)+fv因为二阶偏导在定义域内连续，所以 fmn=fm“，合并得 =6fmn+(2x+3y)fmn+xyfmn+fv15 【正确答案】 三直线所围区域如图，设其面积为 S(C)，则：16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 四、综合题19 【正确答案】 g(一 1)=一 1，g(x)在x=一 1 处连续 g(8)=2，g(x) 在 x=8 处连续x=一 1 是g(x)的不可导点 x=8 是 g(x)的可导点于是知 g(x)在(一，+)内连续，没有间断点；x=一 1 是 g(x)
8、的不可导点20 【正确答案】 设销售量为 x 百台，c(x)=2+x，则利润函数计算 L(0)=一2，L(3)= =25，L(4)=2，L(+)=一 由此可得： Lmax=25=L(3)，所以每年生产 3 百台时总利润最大21 【正确答案】 y=4x 一 x2，y=4 2x (1)要切线平行于 x 轴，令 y=4-2x=0，得x=2，代入 y=4x 一 x2 得 y=4， 故抛物线 y=4xx2 上(2，4)处的切线平行于 x 轴，该切线方程为 y=4 (2) 由抛物线与其水平切线 y=4 及 y 轴围成的平面图形面积为(3)该平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积为 该平面图形绕 y 轴旋转所成的旋转体体积为五、证明题22 【正确答案】 根据积分上限函数的性质知，F(x)在a，b上连续且可导所以由零点定理知，方程 F(x)=0 在(a，b)内至少有一实根又 F(x)=f(x)+ 0，于是 F(x)在(a， b)内单调递增，F(x)在 (a，b)内与 x 轴至少有一个交点，即方程 F(x)=0 在(a ，b)内至少有一个实根故由、 知，方程 在(a，b)内有且仅有一个实根
