1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知连续函数 f(x)满足 f(x)=x2+x01f(x)dx，则 f(x)=( )（A）f(x)=x 2+x（B） f(x)=x2 一 x（C）（D）2 函数 在 x=0 处( ) （A）连续但不可导（B）连续且可导（C）不连续也不可导（D）可导但不连续3 关于 的间断点说法正确的是( )（A） 为可去间断点（B） x=0 为可去间断点（C） x=k 为第二类无穷间断点（D）以上说法都正确4 设 D：x 2+y2R2，则 =( )5 抛物面 在点 M0(1,2,3)处的切平面是(
2、 )（A）6x+3y 一 2z 一 18=0（B） 6x+3y+2z 一 18=0（C） 6x+3y+2z+18=0（D）6x 一 3y+2z 一 18=06 幂级数 的收敛半径是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）+二、填空题7 8 yy“一 (y)2=0 的通解为_ 9 曲线 y=x2(x 一 3)的拐点坐标是 _10 11 的收敛区间是_12 设 y=C1e2x+C2e3x 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设函数 y=y(x)由方程 exey=xy 确定，求14 y=(1 一 x2)cosx，求 y(n)15 16
3、计算定积分17 18 求微分方程 x2y=xy 一 y2 的通解19 z=f(x2 一 y2，xy)，求20 已知 (1)f(x)在 x=0 处连续，求 a；(2)求 f(x)四、综合题21 在曲线 x=t，y=t 2，z=t 3 上找点，使在该点处的切线平行于平面 x+2y+z=422 计算曲线积分 L(exsiny-my)dx+(excosym)dy，其中 L 为从 A(a，0) O(0，0)的上半圆周，而圆的方程为 x2+y2=ax(a0) 五、证明题23 设函数 f(x)和 g(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，证明在(a，b)内至少存在
4、一点 使得 f()g()+2f()g()=0江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 用代入法可得出正确答案为 C.2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 对于 x=k，当 k=0，即x=0 时， x=0 为可去间断点当 k0 时， ，x=k 为第二类无穷间断点4 【正确答案】 C【试题解析】 在极坐标中，0rR，02，5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【
5、正确答案】 (1，一 2)【试题解析】 y=x 2(x 一 3)=x3-3x2 得 y=3x26x 得 y“=6x 一 6 当 y“=6x 一 6=0 时x=1,y=一 210 【正确答案】 1【试题解析】 11 【正确答案】 -1，1)【试题解析】 当 x=1 时，条件收敛，所以其收敛域为一1，1)12 【正确答案】 y“一 5y+6y=0【试题解析】 由二阶常系数齐次线性微分方程通解 y=C1e2x+C2e3x，可知特征根为1=， 2=3，对应特征方程为：( 一 2)( 一 3)=0，即 2 一 5+6=0，所以对应微分方程为 y“-5y+6y=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13
6、 【正确答案】 方程 ex-ey=xy，两边对 x 求导数得 exey.y=y+xy，故又当 x=0 时，y=0 ，故14 【正确答案】 y (n)=(1 一 x2)(cosx)(n)+Cn1(1 一 x2)(cosx)(n-1)+Cn2(1 一 x2)“(cosx)(n-2)15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 将原方程变形为： ，则 y=p+xp，代入原方程得：xp=一 p2，分离变量得 两边积分，得19 【正确答案】 20 【正确答案】 四、综合题21 【正确答案】 因为 ,则曲线在对应参数 t 的点(x ，y，z)处切线的方向向量为1， 2t，
7、3t 2，平面的法向量为1，2，1因为直线与平面平行，则1 ，2t ，3t 2)1，2 ，1)=0 即 1+4t+3t2=0，解得 及 t=一 1 所以曲线上的点为 及(一 1，1，一 1)22 【正确答案】 这是一个对坐标的曲线积分，由被积函数的表达式可知，化为定积分计算很困难，而很简单于是我们想到了格林公式但积分路径 L 不封闭，又不能直接使用格林公式，那么添加直线段 ：y=0，x：0a ，如图所示五、证明题23 【正确答案】 证明：设 F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x) 在a ，b上连续，在(a， b)内可导，并且 F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a ，b)内至少存在一点 ，使得 F()=0，即 f()g2()+2f()g()g()=0，由于 g()0，得 f()g()+2f()g()=0
