1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 (1-mx)1x =e2，则 m 的值为( )（A）12（B） 2（C） -2（D）-2 当 x0 时，在下列变量中为无穷小量的是( )（A）e x-1（B）（C） (1+x)1x（D）3 14|x2-3x+2|dx 的值为( )（A）113（B） 296（C） 96（D）-4 下列说法不正确的是( ) 5 在下面曲面中，为旋转抛物面的是( )（A）x 2+y2=z2（B） x2+y2+2z2=1（C）（D）x 2+y2=2x6 设 f(x，y)= +(y-1)ln(x2y)，
2、则 fx(x，1)=( )二、填空题7 =2，则 a=_，b=_8 u=f(xy，x 2+2y2)，其中 f 为可微函数，则 =_9 已知函数 f(x)=alnx+bx2+x 在 x=1 与 x=2 处有极值，则 a=_，b=_10 a，b 为两个非零矢量， 为非零常数，若向量 a+b 垂直于向量 b，则 等于_11 已知 f(cosx)=sin2x，则f(x-1)dx=_12 已知 f(x)= ，f(x)=1-x，且 (x)0，(x) 的定义域为 _三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 15 设 z=xy+x2f(yx)，其中 f(u)为可微函数，求16 17 已知曲线 y=f(
3、x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线 2x+y-3=0，若 f(x)=3ax2+6，且 f(x)在 x=1 处取得极值，试确定 a，b 的值，并求出函数 y=f(x)的表达式18 计算 -xyd，其中 D：x 2+y2119 求微分方程 y“-2y-3y=3x+1 的通解20 判断级数 的收敛区域四、综合题21 设曲线 y=x2(0x1)，问 t 为何值时，图中的阴影部分面积 S1 与 S2 之和 S1+S2 最小22 已知|a|= ，|b|=1，( )=6，p=a+b ，q=a-b 的夹角( )五、证明题23 证明：对 x0，则 x2+ 12 成立江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 29
4、 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 -m=e-m=e2 m=-22 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A： (ex-1)=0；选项 B： =1；选项 C： (1+x)1x =e；选项 D： =13 【正确答案】 B【试题解析】 14|x2-3x+2|dx=12(-x2+3x-2)dx+24(x2-3x+2)dx=(-+2x)|24=2964 【正确答案】 D【试题解析】 u n=ln =ln(n+1)-lnn，S n=u1+u2+un=ln(n+1)，是收敛的，由比较审敛法知 也收敛 由比值审敛法可知所给的级数 是收敛的5
5、正确答案】 C【试题解析】 A 项为圆锥面，B 项为球面6 【正确答案】 B【试题解析】 f(x，1)=1 x，故 fx(x，1)=二、填空题7 【正确答案】 -4，3【试题解析】 =2 并且 x2+ax+b=0，所以 a=-4，b=38 【正确答案】 yf 1+2f2【试题解析】 令 w=xy，v=x 2+y2，则 u=f(w，v) ，=fw(w，v)y+f v(w，v)2x9 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知：f(x)= +2bx+1，f(1)=0 ，f(2)=010 【正确答案】 【试题解析】 a+b 垂直于向量 b (a+b)b=0 11 【正确答案】 - +x2+C【试题解析
6、 f(cosx)=sin 2x=1-cos2x f(x)=1-x2f(x-1)dx=1-(x-1)2dx=- +x2+C12 【正确答案】 x0【试题解析】 f(x)= =1-x=eln(1-x)，所以 (x)= ，于是 1-x1，即x0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 原式= (1+lnx)32 +C17 【正确答案】 由“ 过原点的切线平行于 2x+y-3=0”，可知：f(x)| x=0=(3ax2+b)|x=0=-2 b=-2“f(x)在 x=1 处取得极值 ”(连续、可导 f(x)|x=1=(3ax2
7、b)|x=1=0 a=23 f(x)=2x2-2 y=f(x)=(2x2-2)dx= x3-2x+C1，又 y(0)=0，得 C1=0 x3-2x18 【正确答案】 -xy)d6=02d01r-r2sincosrdr= 02d01r2dr-02d01r3sincosdr= r3sincos|01d= 19 【正确答案】 对应齐次方程的特征方程为 2-2-3=0，得 1=-1， 2=3于是对应齐次方程的通解为 =C1e-x+C2e3x(其中 C1，C 2 是任意常数)因为 u=0 不是特征根，所以可设方程的特解为 y*=Ax+B，将其代入原方程，得 A=-1，B=13，即y*=-x+ 故微分方
8、程 y“-2y-3y=3x+1 的通解为 y= +y*=C1e-x+C2e3x-x+ (其中C1，C 2 是任意常数 )20 【正确答案】 因为 =1，所以所给幂级数 的收敛半径为 R=1=1，收敛区间为 (-1，1)当 x=-1 时，幂级数 为 P=12 的 P 一级数，所以发散当 x=1 时，幂级数 为交错级数，且是收敛的四、综合题21 【正确答案】 当 t=1 4 时 S1+S2 最小(1)选择 y 为积分变量(2)S=S 1+S2=0t(3)求极值 S(t)=-1 令 S(t)=0，驻点 t=14S(t)=2 0t=1 4 为极小值点，由单峰原理，也是最小值点当t=14 时 S1+S2 最小22 【正确答案】 arccos (1)cos(p，q)=(2)|p|2=|a+b|2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2(cb)=3+1+2 =7，又|q| 2=|a-b|2=(a-b)(a-b)=|a| 2+|b|2-2(ab)=3+1-2 =4-3=1，五、证明题23 【正确答案】 令 f(x)=x2+ ，f(x)=2x- =0，解得：x=2，故 f(2)=4+8=12，f(+)=+，f(0+0)=+ ，f min(x)=12，即 x2+ 12
