1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)=xsin 在点 x=0 处( )（A）有定义但无极限（B）无定义但有极限值 0（C）无定义但有极限值 1（D）既无定义又无极限值2 若 f(x)在 x=a 处可导，则 =( )（A）mf(a)（B） nf(a)（C） (m+n)f(a)（D） f(a)3 设 f(x)的导函数连续，且 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=( )4 若 f(x)在-a，a连续，则 -aaxf(x)+f(-x)dx=( )（A）2 0axf(x)dx（B） 20axf(-x)dx
2、（C） 0（D）2 0axf(x)+f(-x)dx5 向量 a=(1，-4，1)与 b=(2，-2，-1)的夹角 为( )（A）4（B） 0（C） 3（D）26 已知当 x0 时，x 2ln(1+x2)是 sinnx 的高阶无穷小，而 sinnx 又是 1-cosx 的高阶无穷小，则正整数 n=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 8 yy“-(y)2=0 的通解为_9 曲线 y=x2(x-3)的拐点坐标是_10 设 z=ln(x+ |(1，0) =_11 -1)xn 的收敛区间是_12 设 y=C2e2x+C2e3x 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_三
3、、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 f(x)= 若 f(x)在 x=0 处连续，求 a，b，c14 求不定积分x 2e-xdx15 求 01ln(x+ )dx16 求函数 y= (x0)哪一点上的切线与直线 y=x 成 60角?17 u=f(x+y，x 2，ysinx)，求18 求微分方程 xy-y=x2ex 的通解19 求级数 的和数20 当 k 为何值时，广义积分 2+ 收敛?当 k 为何值时，这个广义积分发散?又当 k 为何值时，广义积分取得最小值?四、综合题21 求曲线 x= ，z=t 2 过点(12，2，1)的切线方程及法平面方程21 从(0 ，0) 作抛物线 y=1+x2 的
4、切线，求：22 由切线、抛物线所围成区域的面积；23 上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体积24 甲、乙两村合用一变压器(如图)，若两村用同样型号线架设输电线，问变压器设在输电干线何处时，用线最短?五、证明题25 设函数 f(x)和 g(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，证明在(a，b)内至少存在一点亭 使得 f()g()+2f()g()=0江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 无定义是显然的，因为极限 =0(无穷小乘以有界量仍是无穷小)2 【正
5、确答案】 C【试题解析】 =(n+m)f(a)，在这里函数值由 f(a-mh)变为 f(a+nh)，自变量改变了(a+nh)-(a-mh)=(n+m)h，因此，相应地在分母的位置上构造出相同的自变量的改变量.3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 是 f(x)的一个原函数，所以有 f(x)= 所以xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx=x +C.4 【正确答案】 C【试题解析】 本题利用函数的对称性和奇偶性化简定积分计算，因为 xf(x)+f(-x)为奇函数，所以结果为 05 【正确答案】 A【试题解析】 因为 cos=所以 =46 【正确答案】 C【试题解析】 由已知， =0
6、，则 n4；又 sinnx 是 1-cosx 的高阶无穷小，则 =0，则 n2，所以 n=3，选 C 项二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 8 【正确答案】 y=C 2【试题解析】 令 y=p，则 y“=p -p=0，所以 p(y -p)=0当 p0时，则 y p=C1y 即y=C1y p=0，那么 y=C，方程通解为 y=C29 【正确答案】 (1，-2)【试题解析】 y=x 2(x-3)=x3-3x2 y“=6x-6 当 y“=6x-6=0 时 x=1，y=-210 【正确答案】 1【试题解析】 z=ln(x+ )则 所以 |(1，0) =111 【正确答案】 -1，1)【试题解析
7、】 R= =1，当 x=1 时，-1)条件收敛，所以其收敛域为-1，1)12 【正确答案】 y“-5y+6y=0【试题解析】 由二阶常系数齐次线性微分方程通解 y=C1e2x+C2e3x，可知特征根为1=， 2=3，对应特征方程为：(-2)(-3)=0，即 2-5+6=0，所以对应微分方程为y“-5y+6y=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 f(0-0)=1，f(0+0)=ce-4，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以f(0-0)=f(0+0)=f(0)，得：b=ce -4=1 所以 c=e4 b=1，a 为任意实数14 【正确答案】 x 2e-xdx=-x2d(e
8、-x)=-x2e-x+2xe2e-x-2xd(e-x)=-x2e-x-2xe-x-2e-x+C15 【正确答案】 01ln(x+116 【正确答案】 设切线斜率为 k20，y=x k1=117 【正确答案】 =f1+f22x+f3ycosx， =f“11+f“13sinx+2x(f“21+f“21sinx)+cosxf 3+ycosx(f“31+f“33sinx)18 【正确答案】 原方程化为：y- y=xex，y= dx+C)=x(exdx+C)=x(ex+C)=xex+Cx19 【正确答案】 e x= ，x (-，+)，对上式两边求导得：e x= xn-1xe x= xn对上式两边再次求导
9、，得： (x+1)ex= xn-1x(-，+)，于是，对上式两边取 x=1，得 =2e20 【正确答案】 当 k1 时，当 k=1 时， 2+|2+=+发散，即，当 k1 时，广义积分 2+ 收敛；当k1 时，广义积分发散设 f(x)= (k1)，则令 f(k)=0，得驻点 k0=1- 但当 kk 0 时，f(k) 0；当 kk 0 时，f(k)0，所以，当 k=k0=1- 时，广义积分取极小值，也就是最小值四、综合题21 【正确答案】 x t= ，z t=2t，该点为 t=1 时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为 S=14，-1，2，所求切线方程为：法平面方程为： )-(y-2)+2(
10、z-1)=0即：2x-8y+16z-1=022 【正确答案】 设切点为(x 0，1+x 02)，k=y=2x 0，则切线方程y=2x0x，那么 1+x02=2x02，所以 x0=1，即切线方程为 y=2x，S=2 01(1+x2-2x)dx=23 【正确答案】 V= 02(24 【正确答案】 设变压器所在地 C 距 A 处 x 公里，两村输电线总长为 y，则移项，平方，整理得125x 2+6x-9=0解得 x=12，由于驻点唯一(负值舍去 )故变压器放在距 A 地12km 处，所需电线最短五、证明题25 【正确答案】 设 F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x) 在a ，b上连续，在(a，b)内可导，并且 F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a ，b) 内至少存在一点 ，使得 F()=0， 即 f()g2()+2f()g()g()=0， 由于 g()0，得 f()g()+2f()g()=0
