1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知f(x)dx=e 2x+C，则f(-x)dx=( )。（A）2e -2x+C（B） e-2x+C（C） -2e-2x+C（D） e-2x+C2 在下列极限求解中，正确的是( )。3 下列级数中条件收敛的是( )。4 曲线 y=x3-3x 在开区间(0，1)内为( )。（A）单调上升，且上凹（B）单调下降，且下凹（C）单调上升，且下凹（D）单调下降，且上凹5 若直线 l 与 Ox 平行，且与曲线 y=x-ex 相切，则切点坐标为( )。（A）(1 ，1)（B） (-1，1)（C）
2、(0，-1)（D）(0 ，1)6 且 f(x)在 x=0 处连续，则 a 的值为( )。（A）1（B） 0（C）（D）二、填空题7 x+y=tany 确定 y=y(x)，则 dy。8 函数 ，y”(0)。9 设 u=exysinx， 。10 设 yx 2（x0），则函数 y 的微分 dy。11 交换二次积分得 01dx0xf(x，y)dy+ 02dx02-xf(x，y)dy。12 幂级数 的收敛半径 R。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 计算 。14 设 。15 计算： 01xln(x+1)dx。16 求方程 xy+y-ex=0 满足初始条件 y x=1=e 的特解。17 设 z=f
3、(x2， )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 。18 求积分 。19 将函数 y=cos2x 展成关于 x 的幂级数。20 计算 ，其中 D 是由直线 y=x，2y=x 及 x=1 围成的区域。四、综合题21 试求由抛物线(y-2) 2=x-1 和与抛物线相切于纵坐标 y0=3 处的切线以及 x 轴所围成图形面积。22 从半径为 R 的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?23 某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是 其中x 为正数，每生产一件产品可赢利 A 元，但生产一件次品要损失 元，问为了获得最大盈利，每天的生产量为多少?五、证明题24 设 f(x)在a，b上
4、连续（ab），且 f(x)0。证明方程 。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 原式两边分别求导得，f(x)=2e 2x，再两边求导，得 f(x)=4e2x，则 f(-x)=4e-2t。 f(-x)dx=4e -2xdx=-2e2xd(-2x)=-2e-2x+C。故选 C 项。2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 当 02-30。曲线单调下降，且上凹，故选 D 项。5 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意得：y=(1-e x)=
5、0 x=0，代入得 y=-1。6 【正确答案】 C【试题解析】 使用洛必达法则可知： ，根据 f(x)在 x=0处连续，可知 a= 。二、填空题7 【正确答案】 (coty) 2【试题解析】 两边对 x 求导 y=1/(x+y) 2(1+y) 整理得 y=1/(x+y)2=(coty)28 【正确答案】 9 【正确答案】 e xy(ysinx+cosx)【试题解析】 =exyysinx+exycosx=exy(ysinx+cosx)。10 【正确答案】 x x（lnx+1）dx【试题解析】 令 ye xlnx，则 dyx x（lnx+1）dx。11 【正确答案】 01dyy2-yf(x，y)d
6、x12 【正确答案】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式 。14 【正确答案】 解：15 【正确答案】 16 【正确答案】 解：由 xy+y-ex=0，得y x=1e， C0，故特解为： y 。17 【正确答案】 18 【正确答案】 。19 【正确答案】 20 【正确答案】 解：积分区域 D 如图所示，从被积函数的特点知，该积分应化为“先对 y 积分，后对 x 积分 ”的二次积分。四、综合题21 【正确答案】 解：抛物线(y-2) 2=x-1，顶点在(1，2)，开口向右，切点 y 坐标为3，则 x 坐标为 2，则切线斜率为 k=y x=2，而 ，切线方程 y-3 (
7、x-2)，改写成 x=2y-4。S 03(y-2)2+1-(2y-4)dy=9。22 【正确答案】 解：设余下部分的圆心角为 时所卷成的漏斗容积 V 最大，漏斗的底半径为 r，高为 h。 即当余下的圆心角为 时漏斗容积最大。23 【正确答案】 解：设日生产量为 x 件，日利润为 u 元，则日次品数为 xy 件，日正品数为(x-xy)件。因为当 x50 时次品率为 1，为获最大利润故必 0x50。于是日利润为 u=A(x-xy)- ，(0x50)。uA(1yxy) 。令 u0，得 y+xy 。将 。即 x428 或 x5925，舍去x5925。比较 u(0)0，u(42)1664，u(43) 1899 的值，故日生产量为 43件时，获得最大盈利。五、证明题24 【正确答案】 证明：令 F(x)=axf(t)dt+ ，根据积分上限函数的性质知，F(x)在a，b上连续且可导。又 F(a)=aaf(t)dt+ 0)F(b)=abf(t)dt+=abf(t)dt0，(f(x)0) 由零点定理知，方程 F(x)=0 在(a，b)内至少有一实根。又 F(x)=f(x)+ 0，于是 F(x)在(a，b) 内单调递增，F(x) 在(a ，b) 内与 x轴至少有一个交点，即方程 F(x)=0 在(a ，b)内至少有一个实根。故由、知，方程 axf(t)dt+ =0 在(a，b)内有且仅有一个实根。
