1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列的极限求解中，正确的是( )2 下列级数收敛的是( ) 3 设 a=-i+j+2k，b=3i+4k，用 b0 表示 b 方向上的单位向量，则向量 a 在 b 上的投影为( )（A） b0（B） b0（C） b0（D）-b 04 设 f(x)在 x=x0 处可导， ，则 f(x0)=( )（A）-4（B） -2（C） 2（D）45 函数 y=2xln -3 的水平渐近线方程是 ( )（A）y=1（B） y=2（C） y=3（D）y=06 下列不定积分计算正确的是( )二、填空题
2、7 设函数 f(x)= 在点 x=0 处连续，则常数 k=_8 若 f(x)为可导的偶函数，则 f(0)=_9 设 f(x)= -201f(x)dx，则 01f(x)dx=_10 设 a=m，3，-4)与 b=2，m，3)互相垂直，则 m=_11 平面 x-y+z+3=0 与平面 2x-2y+2z+3=0 之间的距离 d=_12 设 z=ln(1+ )，则 dz|(1，2) =_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 z=arctan ，求 dz15 xf(x)dx=arcsinx+C，求 16 若函数 y=y(x)是由参数方程17 设 y=f(x)满足 y“-3y+2y=2ex，其
3、图形在(0，1)处与曲线 y=x2-x+1 在该点处切线重合，求 f(x)表达式18 求直线 在平面 x+y+2z-1=0 上的投影线方程19 求二重积分 1+x3-(x2+y2)dxdy，其中 D 为 x2+y22ay四、综合题20 在直角坐标系的第一象限内作 4x2+y2=1 的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标21 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是 x，y(千件)，甲厂的月生产成本是 C1=x2-2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是 C2=y2+2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本2
4、2 把一根长为口的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小五、证明题23 证明：当- x2 成立江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为=0，而 sin(x2+1)有界，所以原式=0 2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度)B 项用比较法通项 ，P1 ，发散，对于C，由于 不存在，根据定义可知该级数发散，可排除 D 项，根据莱布尼兹判别法，a n= ，a n0，a n 单调
5、下降，且 an=0，收敛，故此级数条件收敛3 【正确答案】 B【试题解析】 根据矢量 b 在 a 上的投影公式 proja(b)= a4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 =6lne-3=6-3=3 6 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题7 【正确答案】 ln2【试题解析】 由连续的定义， =ex=f(0)=2，所以 k=ln28 【正确答案】 0【试题解析】 (1) f(x)为偶函数， (-x)=f(x)(2)f(x)可导，-f(-x)=(x)故-f(0)=f(0)，2f(0)=0 即 f(0)=09 【正确答案】 12【试题解析】 令 01f(x)dx=
6、A， 01f(x)dx=01 dx-012AdxA=arctanx|01-2A，A=1210 【正确答案】 125【试题解析】 ab ，ab=0，2m+3m-12=0，故 m=12511 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式= =e-114 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 由参数方程求导法则17 【正确答案】 r 2-3r+2=0 r1=1，r 2=2，所以 Y=C1ex+C2e2x，y *=Axex，则y*=A(1+x)ex，y *“=A(2+x)ex，代入原方程得 A(2+x)ex
7、-3A(1+x)ex+2Axex=2ex，化简得 A=-2所以 y*=2xex，所以 y=C1ex+C2e2x-2xex，则 y=C1ex+2C2e2x-2(1+x)ex 根据已知条件，图像经过点(0，1)，所以有 y(0)=1；又切线的斜率 k=(2x-1)|x=0=-1，所以有 y(0)=-1，这样就得到了两个初始条件，分别代入得 C1+C2=1，C 1+2C2-2=-1，解得 C1=1，C 2=0，因此 y=ex-2xex18 【正确答案】 19 【正确答案】 由对称性知 x3dxdy=0 原式= 0d02asin(1-r2)rdr=0( )|02asind=0(2a2sin2-4a4s
8、in4)d=202 (2a2sin2-4a4sin4)d=4a202 sin2d-8a402 sin4d=4a2 a4本题也可以这样做，1+x3-(x2+y2)dxdy= (x2+y2)dxdy= (x2+y2)dxdy=a2-0d02asinr2 rdr=a 2- a4这里的 a2 就是积分区域的面积，即半径为 a 的圆的面积，这里 x2+y2=2ay x2+(y-a)2=a2，即圆心为(0，a)，半径为 a 的圆四、综合题20 【正确答案】 根据题意画出图形： 设切点为(X，Y)=(X，)，由 4x2+y2=1 求导得：切线方程为 y-(x-X)令 x=0 得 y=令 y=0 得 x=X+
9、所以切点坐标为21 【正确答案】 本题为求函数 z=f(x，y)=x 2+y2-2x+2y+8 在条件 x+y-8=0 下的条件极值(1)用拉格朗日乘数法总成本 f(x，y)=x 2+y2-2x+2y+8，约束条件 (x，y)=x+y-8=0，作辅助函数 F(x，y)=x 2+y2-2x+2y+8+(x+y-8)解得 x=5，y=3 由于驻点(5，3)唯一，实际中确有最小值所以当 x=5 千件，y=3 千件时使总成本最小，最小成本为 f(5，3)=38 千元(2)化条件极值为无条件极值总成本为 z=f(x，y)=x 2+y2-2x+2y+8，约束条件x+y-8=0，将 y=8-x 代入 f(x
10、，y)中，得 z=x2+(8-x)2-2x+2(8-x)+8=2x2-20x+88zx=4x-20，令 zx=0，得 x=5因为 z“xx=40，所以 x=5 时 z 取极小值，又因为极值点唯一，所以 x=5 时，z 取最小值，此时 y=3，故 x=5 千件，y=3 千件时，总成本最小最小成本为：f(5，3)=38 千元22 【正确答案】 设围成圆形的长度为 x，面积设为 S1，则围成正方形的长度为 a-x，而面积记为 S2，则 S(x)=S1(x)+S2(x)=( (0xa)S(x)=)0所以 x= 时，圆形面积与正方形面积之和最小五、证明题23 【正确答案】 设 f(x)=1-cosx- x2，则 f(x)=sinx- ，令 f(x)=sinx-内解得 x=0由 f“(0)=1-内的最小值是 f(0)=0故当-x2 时，f(x)=1-cosx- x20，即 cosx1- x2
