1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 g(x)=，则下列正确的是( )2 下列函数在-1，1上满足罗尔定理条件的是( )（A）y=e x（B） y=1+|x|（C） y=1-x2（D）y=1-3 设 f(x)=x(x2-12)(x2-22)(x2-n2)，则 f(0)=( )（A）(n!) 2（B） (-1)n(n!)2（C） n!（D）(-1) nn!4 设 f(x)=alnx+kx3-3x 在 x=1，x=2 取得极值，则 a，b 为( )5 设 e-2x 是 f(x)的一个原函数，则 =( )（A）2e -2
2、x（B） 8e-2x（C） -2e-2x（D）4e -2x6 若 f(x)的一个原函数为 ln2x，则xf(x)dx=( )（A）lnx-ln 2x+C（B） 2lnx+ln2x+C（C） 2lnx-ln2x+C（D）lnx+ln 2x+C二、填空题7 sub-11( +sinx)dx=_8 函数 y=1n ，y“(0)=_9 设 u=exysinx， =_。10 已知函数 f(x)=alnx+bx2+x 在 x=1 与 x=2 处有极值，则 a=_，b=_11 交换二次积分得 01dx0xf(x，y)dy+ 12dx02-xf(x，y)dy=_12 幂级数 x2n 的收敛半径 R=_三、解答
3、题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 15 z=(x+y)exy，求 dz16 求 -+ dx17 求 y-(cosx)y=esinx 满足 y(0)=1 的解18 设 z=xf(x2，xy)，其中 f(u，v)的二阶偏导数存在，求19 求函数 y=x-ln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间20 求幂级数 的收敛域四、综合题21 试求由抛物线(y-2) 2=x-1 和与抛物线相切于纵坐标 y0=3 处的切线以及 x 轴所围成图形面积22 从半径为 R 的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?23 某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是 y(x)= 其中
4、x为正数，每生产一件产品可赢利 A 元，但生产一件次品要损失 A3 元，问为了获得最大盈利，每天的生产量为多少?五、证明题24 设 f(x)在1，2上具有二阶导数 f“(x)，且 f(2)=f(1)=0，如果 F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点 (1，2)，使 F“()=0江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 选 D 项2 【正确答案】 C【试题解析】 逐一验证：对于 A 项，y=e x，e -1e，不满足 f(-1)=f(1)，选项B，y=1+|x| ，在 x=0 处不可导，
5、不满足， D 项 y=1- 在 x=0 处不连续，故排除，选 C 项3 【正确答案】 B【试题解析】 令 g(x)=(x2-12)(x2-22)(x2-n2) f(x)=xg(x) f(x)=g(x)+xg(x) f(0)=g(0)+0=(-1)2(-2)2 (-n) 2=(-1)n(n!)2 选 B 项4 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)= +2kx-3x，f(1)=0，=3-2b(2)f(2)=0，a=6-8b，-得 6b-3=0 得 b=12 代入得 a=2 故 a=2，b=1 2答案选 B项5 【正确答案】 D【试题解析】 (1)原式= =-2f(x)(2)F(x)=e
6、-2x，f(x)=(e -2x)=-2e-2x(3)原式=-2(-2)e -2x=4e-2x 选 D 项6 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=ln 2x，f(x)=F(x)= lnx，xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx=2lnx-ln2x+C，选 C 项二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 -11( +sinx)dx=-11 dx+-11sinxdx8 【正确答案】 9 【正确答案】 e xy(ysinx+cosx)【试题解析】 =exyysinx+e xycosx=e xy(ysinx+cosx)10 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知：f(x)= +2b
7、x+1，f(1)=0 ，f(2)=011 【正确答案】 01dyy2-yf(x，y)dx12 【正确答案】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 设 arctanx=t，x=tant，则：I= sec 2tdt=tantcoste tdt=etsintdt=sintdet=etsint-etcosdtd=etsint-costdet=etsint-costet-etsintdt=etsint-costet-I 则 I= etcost+C，所以原式= +C15 【正确答案】 因为 =exy+(x+y)exyy=(1+xy+y 2)exy =(1+xy+x2
8、)exy 所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy16 【正确答案】 17 【正确答案】 这是一阶线性非齐次微分方程，其中 P(x)=-cosx，Q(x)=e sinx 于是方程的通解为： y=e -P(x)dxQ(x)eP(xdx)dx+C=e-(-cosx)dxesinxe(-cosx)dxdx+C =esinx(eainxe-sinxdx+C)=esinx(x+C) 由 y(0)=1，得 C=1，故所求解为：y=e sinx(x+1)18 【正确答案】 =2xf2+x2(f“212x+f“ 22y)=2xf2+2x3f“21+x2yf“22， =2xf2+x2
9、(f“212x+f“ 22y)=2xf2+2x3f“21+x2xf“2219 【正确答案】 函数的定义域为(-1，+)；y=1- 令 y=0，得驻点x=0又 y“= 0， x(-1，+) ，于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(-1，+)； 又-1x0 时，y0，函数递减；0x+时，y0，函数递增，故函数单调递减区间为：(-1，0)；递增区间为：(0，+)；且函数在 x=0 处取得一极小值 f(0)=020 【正确答案】 令 x-5=t，则原式= 收敛半径为：R= =1，当 t=1 时，级数收敛所以级数的收敛域为4，6)四、综合题21 【正确答案】 抛物线(y-2) 2=x-1，顶点在(
10、1，2)，开口向右，切点 y 坐标为 3，则 x 坐标为 2，则切线斜率为 k=y|x=2，而 y= ，所以 k=12，切线方程 y-3= (x-2)，改写成 x=2y-4S= 03(y-2)2+-(2y-4)dy=922 【正确答案】 设余下部分的圆心角为 时所卷成的漏斗容积 V 最大，漏斗的底半径为 r，高为 h则 2r=R，h=即当余下的圆心角为 = 时漏斗容积最大23 【正确答案】 设日生产量为 x 件，日利润为 u 元，则日次品数为 xy 件，日正品数为(x-xy)件因为当 x50 时次品率为 1，为获最大利润故必 0x50于是日利润为 u=A(x-xy)- xy，(0x50)u=A
11、(1-y-xy)- xy令 u=0，得y+xy=34将 y= 代入，解得 x=512 即 x428 或 x5925，舍去x5925比较 u(0)=0， u(42)=1664，u(43)=1899 的值，故日生产量为 43 件时，获得最大盈利五、证明题24 【正确答案】 设 G(x)=F(x)-(x-2)f(1)，则 G(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，而 G(1)=f(1)，G(2)=f(2)， 于是由 f(2)=f(1)=0 知 G(1)=G(2) 由罗尔定理知在(1，2)内至少有一点 1 使 G(1)=0，即 F(1)=f(1) 又由 F(x)=f(x)+(x-1)f(x)知 F(1)=f(1) 显然 F(x)=f(x)+(x-1)f(x)在1， 1上满足罗尔定理条件 于是在(1， 1)内至少有一点 使 F“()=0， 即在(1，2)内至少有一点 使 F“()=0
