1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 在=( ) （A）（B）（C） 2（D）42 要使 f(x)=ln(1+kx)m 在点 x=0 处连续，应给 f(0)补充定义的数值是 ( )（A）km（B）（C） lnkm（D）e km3 设 f(x2)=x4+x2+1，则 f(1)=( )（A）1（B） 3（C）一 1（D）一 34 已知 f(x)=(x 一 3)(x 一 4)(x 一 5)，则 f(x)=0 有( )（A）一个实根（B）两个实根（C）三个实根（D）无实根5 已知 f(x)的一个原函数为 cosx，g(x)
2、的一个原函数为 x2，则 fg(x)的一个原函数为( )（A）x 2（B） cos2x（C） cosx2（D）cosx6 设 ex 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)=( )（A）e 一 x(x+1)+C（B）一 e 一 x(x+1)+C（C） e 一 x(1 一 x)+C（D）e 一 x(x 一 1)+C二、填空题7 =_.8 若 f(x)在 x=0 处连续，则 a=_9 设函数 的收敛半径为 3，则级数 的收敛区间为_10 曲线 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所成体积为_11 曲线 y=xlnx 的平行于直线 y=x+2 的切线方程为_12 设 ，则全微分 dz=_三、解答题解答
3、时应写出推理、演算步骤。13 14 ，求 dz15 xf(x)dx=arcsinx+C，求16 若函数 y=y(x)是由参数方程17 设 y=f(x)满足 y一 3y+2y=2ex，其图形在(0，1)处与曲线 y=x2 一 x+1 在该点处切线重合，求 f(x)表达式18 求直线 在平面 x+y+2x 一 1=0 上的投影线方程 .19 求二重积分 ，其中 D 为 x2+y22ay20 将函数 y=xlnx 在 x=1 处展开为幂级数，并指出成立范围。四、综合题21 在直角坐标系的第一象限内作 4x2+y2=1 的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标22 某公司的甲、乙两厂生
4、产同一种产品，月产量分别是 x，y(千件)，甲厂的月生产成本是 C1=x2 一 2z+5(千元)，乙厂的月生产成本是 C2=y2+2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本23 把一根长为 a 的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小五、证明题24 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，0f(x)1，求证： 01(x)dx201f3(x)dx江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
5、1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 (1) f(x2)=(x2)2+x2+1，f(x)=x 2+x+1 (2)f(x)=2x+1，f( 一 1)=一 2+1一一 1，选 C 项4 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)在3，4连续在(3，4)， 可导且 f(3)=f(4)=0， f(x)在3，4满足罗尔定理条件， 故有 f(1)=0(3 14) (2) 同理 f(x)在4，5满足罗尔定理 有f(2)=0，4 25 综上所述，f(x)=0 在(3，5) 至少有两个实根 (3)f(x)=0 是一元二次方程，至多有两个根，故选
6、 B 项5 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)=(cosx)=一 sinx，g(x)=(x 2)=2x， fg(x)= 一 sin2x (2)(cos2x)=2cosx(-sinx)=一 sin2x， 选 B 项6 【正确答案】 A【试题解析】 F(z)=e -x， f(x)=F(x)=一 e-x， 原式=xdF(x)=xF(x)-F(x)dx 一 xe-x 一e-xdx=(x+1)e-x+C 选 A 项二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 用洛必达法则进行计算8 【正确答案】 1【试题解析】 因为在 f(x)在 x=0 处连续，则9 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】
7、因级数 收敛半径为 3，易知级数 的收敛半径也为 3，所以收敛区间为(一 2，4)10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 因为切线方程平行于直线，所以其斜率为 k=112 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 由参数方程求导法则17 【正确答案】 r 23r+2=0=r 1=1，r 2=2，所以 y=C1ex+C2e2x，y *=Axex，则y*=A(1+x)ex，y *=A(2+x)ex，代入原方程得 A(2+x)ex 一 3A(1+x)ex+
8、2Axex 一 2ex，化简得 A=一 2 所以 y*=2xex，所以 y=C1ex+Ce2x 一 2xex，则 y=C1ex+2C2e2x 一2(1+x)ex 根据已知条件，图像经过点(0，1)，所以有 y(0)=1；又切线的斜率 k=(2x一 1) x=0=一 1，所以有 y(0)=一 1，这样就得到了两个初始条件，分别代入得C1+C2=1，C 1+2C2 一 2=一 1，解得 C1=1，C 2=0，因此 y=ex 一 2xex18 【正确答案】 19 【正确答案】 由对称性知这里的 x2 就是积分区域的面积，即半径为 a 的圆的面积，这里 x2+y2=2ayx 2+(y-a)2=a2，即
9、圆心为(0，a)，半径为 a 的圆20 【正确答案】 y=xlnx=(x 一 1)lnx+lnx=(x 一 1)ln(1+x 一 1)+ln(1+x 一 1)=四、综合题21 【正确答案】 根据题意画出图形：设切点为 由4x2+y2=1 求导得：22 【正确答案】 本题为求函数 z=f(x，y)=x 2+y2 一 2x+2y+8 在条件 x+y 一 8=0 下的条件极值用拉格朗日乘数法总成本 f(x，y)=x 2+y22x+2y+8，约束条件 (x，y)=x+y 一 8=0，作辅助函数 F(x，y)=x 2+y2 一 2x+2y+8+(x+y 一 8)令解得 x=5，y=3 由于驻点(5，3)
10、唯一，实际中确有最小值所以当 x=5 千件，y=3 千件时使总成本最小，最小成本为 f(5，3)=38 千元23 【正确答案】 设围成圆形的长度为 x，面积设为 S1，则围成正方形的长度为 a一 x，而面积记为 S2，则五、证明题24 【正确答案】 首先证明不等式 0x(t)dt20xf3(t)dt(0x1)令 F(x)=0xf(t)dt2 一0xf3(t)dt，F(x)=2 0xf(t)dt.f(x)一 f3(x)=f(x)20xf(t)dt 一 f2(x)，再令 (x)=20xf(t)dt 一f2(x)则 (x)=2f(x)一 2f(x)f(x)=2f(x)1 一 f(x)因为 f(0)=0，f(x)0，所以 f(x)单增，当 x0 时，f(x)f(0)=0又 0f(x)1，于是 (x)0，由此 (x)单增，当 x0 时，(x)(0)=0，所以又有 F(x)0，由此 F(x)单增，当 x0 时，F(x)F(0)=0 ，故 F(1)0，从而有 01f(x)dx201f2(x)dx
