1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 =1，则常数 k 等于( ) 。（A）1（B） 2（C） 4（D）任意实数2 下列命题中正确的是( )（A）若 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0（B）若 f(x)在(a ，b) 内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值（C）若 f(x0)=0，则 x0 必是 f(x)的极值点（D）若 f(x)在点 x0 处可导，且点 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=03 若 x=2 是函数 y=xln 的可导极值点，则常数 a 值为( )。（A）一 1（B）（C
2、）（D）14 若 y=arctanex，则 dy=( )。（A）（B）（C）（D）5 =0 是级数 收敛的( ) 条件。（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）既非充分又非必要6 设函数 f(x)=x(x1)(x2)(x3)，则方程 f(x)=0 的实根个数为( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 如果 f(x)= 在 x=0 处连续，那么 a=_。8 设 ，则 =_。9 点 M(2，一 3，4)到平面 3x+2y+z+3=0 的距离 d=_。10 设函数 y=y(x)是由方程 exey 一 sin(xy)确定，则 =_。11 函数 f(x)=arctanx 在 一 1，1上
3、满足拉格朗日中值定理的点是=_。12 交换积分次序 f(x，y)dx=_ 。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求 。14 求 。15 已知 z=(x+y)exy，求 dz。16 求 。17 求 y一(cosx)y=e sinx 满足 y(0)=1 的解。18 设 z=xf(x2，xy)，其中 f(u，v)的二阶偏导数存在，求 、 。19 求函数 y=xln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间。20 求幂级数 的收敛域。四、综合题21 已知三点：A(1，0，一 1)，B(1，一 2，0)，C(一 1，2，一 1)， (1)求 ；(2)求以 A、B、C 为顶点的三角形面积。22
4、求由曲线 y= ，y=x 2 所围平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转的旋转体的体积Vx 和 Vv。五、证明题23 设函数 f(x)和 g(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，证明在(a，b)内至少存在一点 使得 f()g()+2f()g()=0。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知，x=2 时，x 23x+k=0 k=2。2 【正确答案】 D【试题解析】 根据极值存在的必要条件与充分条件。3 【正确答案】 C【试题解析】 y=x =0
5、 由题意得 f(2)=0，可知 a=。4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛定义、性质可知答案为 B 项。6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)是四次多项式，故 f(x)=0 是三次方程，有 3 个实根。二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 =f(0)，那么 a=0。8 【正确答案】 tant【试题解析】 = = =tant。9 【正确答案】 【试题解析】 根据点 M(x1，y 1，z 1)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为 d=。10 【正确答案】 1【试题解析】 对方程两边求导得：e x 一 eyy=cosxy.(y+xy)，
6、根据 x 的值求出 y 值，则可得出 =1。11 【正确答案】 【试题解析】 设点 ，根据拉格朗日定理，则此点满足 f(1)f(一 1)=f()1 一(一1)，所以点 等于 。12 【正确答案】 【试题解析】 通过作图可得出结论。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 设 arctanx=t，x=tant，则：I= dx= .sec2tdt=tantcost.etdt=etsintdt=sintdet=etsintetcostdt=etsintcostdet=etsintcostet 一e tsintdt=etsintcostet 一 I 则 I= ets
7、intetcost+C，所以原式= +C15 【正确答案】 因为 =exy+(x+y)exy.y=(1+xy+y2)exy =(1+xy+x2)exy 所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy。16 【正确答案】 =17 【正确答案】 这是一阶线性非齐次微分方程，其中 P(x)= 一 cosx，Q(x)=e sin。 于是方程的通解为： y=e -p(x)dxQ(x)e-p(x)dxdx+C=e-(cosx)dxesinxe(-cosx)dxdx+C =esinx(esinxe-sinx+C)=esinx(x+C) 由 y(0)=1，得 C=1，故所求解为：y=e
8、sinx(x+1)18 【正确答案】 ， =2x +x( + )=2x +2x3 +x219 【正确答案】 函数的定义域为 (一 1，+) ； y=1 一 ，令 y=0，得驻点 x=0又 y= 0，x( 一 1，+) ，于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(一 1，+)；又一 10，函数递增，故函数单调递减区间为：(一 1，0)；递增区间为：(0，+)；且函数在 x=0 处取得一极小值 f(0)=0。20 【正确答案】 令 x 一 5=t，则原式= ，收敛半径为：R=1，当 t=1 时，级数 发散；当 t= 一 1 时，级数收敛。所以级数 的收敛域为一 1，1)，那么级数 的收敛域为4
9、，6)。四、综合题21 【正确答案】 一 4，【试题解析】 (1) =0，一 2，1， =一 2，2，0， =0，一 2，1.一 2，2，0=04+0= 一 4(2)S ABC= ，又 =一 2，一 2，一 4，S ABC= =22 【正确答案】 ，【试题解析】 (1)画出平面图形 x4+x2 一2=0 交点 (一 1，1)或(1 ，1) 。(2) = (3)Vy=五、证明题23 【正确答案】 设 F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x) 在a ，b上连续，在 (a，b)内可导，并且 F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a ，b) 内至少存在一点 ，使得 F()=0，即 f()g2()+2f()g()g()=0，由于 g()0，得 f()g()+2f()g()=0。
