1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 58 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列的极限求解中，正确的是( ) 。（A）（B）（C）（D）2 下列级数收敛的是( ) 。（A）（B）（C）（D）3 设 a=一 i+j+2k，b=3i+4k，用 b0 表示 b 方向上的单位向量，则向量 a 在 b 上的投影 为( ) 。（A）（B） b0（C）（D）一 b04 设 f(x)在 x=x0 处可导， = ，则 f(x0)=( ) 。（A）一 4（B）一 2（C） 2（D）45 函数 y=2xln 3 的水平渐近线方程是 ( )。（A）y=1（B） y=2（C） y
2、=3（D）y=06 下列不定积分计算正确的是( )。（A）（B）（C）（D）二、填空题7 若 =A，且 f(x)在 x=x0 处有定义，则当 A=_时，f(x)在 x=x0 处连续。8 y=1+ 的水平渐近线是_，垂直渐近线是_。9 =_。10 设向量 a=(2，4，一 5)，b=(2，3，k) ，若 a 与 b 垂直，则 k=_。11 二次积分 =_。12 交换积分的次序： =_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设函数 f(x)= 在 x=0 处可导，求 a、b 的值。14 求极限 。15 求曲线 e2x+ycos(xy)=e 一 1 过点(0，1)的切线方程。16 求x 2 d
3、x。17 求 10xarcsinx dx。18 求方程 y+y一 2y=x2 的通解。19 已知 f(x)= ，求 f(x)。20 已知 z=ln(x+ )，求 ，四、综合题21 求出满足下列条件的最低次多项式：当 x=1 时有极大值 6，当 x=3 时有极小值2。22 设曲线 y= ，求过曲线(2，2) 点处的切线与曲线 y= 及 y 轴所围成平面图形的面积，并求出平面图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积。五、证明题23 证明：当|x|2 时，|3x 一 x3|2。24 已知 f(x)有二阶连续导数，证明xf(2x 一 1)dx= f(2x 一 1)一 (2x 一 1)+C。江苏省专转本（高等数
4、学）模拟试卷 58 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 = = =e2， = = =e，= =12。因为 =0，而 sin(x2+1)有界，所以原式=0。2 【正确答案】 D【试题解析】 诜项 A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度)， B 项用比较法通项 ，等价于 ，P1 ，发散，对于 C，由于 不存在，根据定义可知该级数发散，可排除， D 项，根据莱布尼兹判别法，a n= ，a n0， an 单调下降，且 =0，收敛，故此级数条件收敛。3 【正确答案】 B【试题解析】 根据矢量 b 在 a 上的投影公
5、式 proja(b)= 。4 【正确答案】 B【试题解析】 =2f(x0)。5 【正确答案】 C【试题解析】 = 3=3= 3=6.lne3=63=36 【正确答案】 A【试题解析】 = = +C二、填空题7 【正确答案】 f(x 0)【试题解析】 根据连续的定义， f(x)=f(x0)，所以 A=f(x0)时，f(x)在 x=x0 处连续。8 【正确答案】 y=1，x=1【试题解析】 =1 y=1 是其水平渐近线，是其垂直渐近线。9 【正确答案】 【试题解析】 设 x=asect，dx=asecttantdt，换限：当 x=a 时，t=0 ；当 x=2a 时，t=，于是 dx= asectt
6、antdt= sin2tcostdt= sin2td(sint)=10 【正确答案】 【试题解析】 ab C a.b=0。11 【正确答案】 1【试题解析】 4xdy= dx= =112 【正确答案】 f(x，y)dx【试题解析】 画出积分区域 D：1xe，0Ylnx，见图改写 D：0y1，e yxe便得原式= f(x，y)dx三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 f(x)在 x=0 处连续，f(0)=a，f(0 0)=1，f(0+0)=a，因为 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)。所以 a=1。又 f(x)在 x=0 处可导， = =1， = = =b 因为 =，所
7、以 b=1。14 【正确答案】 = = = = =15 【正确答案】 方程两端 y 对 x 求导： e 2x+y(2+y)+sin(xy).(1+y)=0。 将 x=0，y=1代入得 y=一 2， 所求切线方程为 y 一 1=一 2x，即 2x+y 一 1=0。16 【正确答案】 由于 x2dx= dx3， 可以看成是关于 x3 的函数，所以x 2dx= . dx3= d(3x3)= +C=+C17 【正确答案】 10xarcsinxdx= 10arcsinxdx2= x2arcsinx|10 = costdt= = = = =18 【正确答案】 对应的齐次方程的特征方程为 2+ 一 2=0，
8、得 1=一 2， 2=1， 于是对应的齐次方程的通解为 =C1e2x+C2ex(其中 C1，C 2 是任意常数)，因为 =0不是特征根，所以设特解为 y*=Ax2+Bx+C。代入原方程，得 A= ，B= ，C=，y *= x2 x ，故原方程的通解为 y= +y*=C1e2x+C2ex+ + ，(其中 C1，C 2 是任意常数)19 【正确答案】 f(x)= ， = =0 =0 所以 f(0)=0，f(x)= ， = =2 = =0，所以 f(0)不存在。20 【正确答案】 = = ， = =， = =四、综合题21 【正确答案】 分析：对于多项式有两个极值，则该多项式的最低次数为三次，不妨设
9、所求多项式为 y=ax3+bx2+Cx+d，则 y=3ax2+2bx+c，因为当 x=1 时有极大值6，当 x=3 时有极小值 2，所以 y(1)=6，y(3)=2，y(1)=0，y(3)=0，则解得22 【正确答案】 由 y= ，得 y= ，则在(2，2)点处的切线的斜率为 k=y(2)= 于是切线的方程为 y 一 2= (x2)，即 y= +1 所求面积 S= 也可以这样写 S=(前半部分为梯形面积)所求体积为V= = 也可以这样写 V= = (红色为圆台体积)。注：圆台体积公式为 V= (R2+r.R+r2)h五、证明题23 【正确答案】 令 f(x)=3xx3，x2，2，f(x)=3 3x2=0，x=1，f(-1)=一2，f(1)=2，f(2)=一 2，f(一 2)=2；所以 fmin=2，f max=2，故一 2f(x)2， 即|3x x3|224 【正确答案】 证： = +C
