1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 f(x)= ， g(x)= ，下列正确的是( ) 。（A） f(x)+g(x)= （B） f(x)g(x)= （C） =0（D） kf(x) = (k0)2 下列函数在1，1 上满足罗尔定理条件的是( ) 。（A）y=e x（B） y=1+|x|（C） y=1x2（D）y=13 设 f(x)=x(x212)(x222)(x2n2)，则 f(0)=( ) 。（A）(n ！) 2 （B） (1) n (n！) 2 （C） n！（D）(1) n n！4 设 f(x)=alnx+bx2
2、3x 在 x=1，x=2 取得极值，则 a，b 为( ) 。（A）a= ， b=2（B） a=2，b=（C） a= ，b=2（D）a= 2，b=5 设 e2x 是 f(x)的一个原函数，则 =( ) 。（A）2 e 2x（B） 8e2x （C） 2e2x（D）8e 2x6 若 f(x)的一个原函数为 ln2x，则xf(x)dx=( ) 。（A）lnxln 2x +C（B） 2lnx+ln2x +C（C） 2lnxln2x +C（D）Lnx+ln 2x +C二、填空题7 =_。8 函数 f(x)=2x2 一 x+1 在区间一 1，3上满足拉格朗日中值定理的 =_。9 =_，其中 D 为以点 O(
3、0，0)、A(1，0)、B(0，2)为顶点的三角形区域。10 设 f(x，y)= ，则 =_。11 交换二次积分次序 f(x，y)dy=_ 。12 微分方程 yy+xey=0 满足 的特解为_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求14 已知 ，求 ， 。15 设 z=xy+x2 ，其中 f(u)为可微函数，求 ， 。16 求 。17 已知曲线 y=f(x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线 2x+y3=0，若 f(x)=3ax2+b，且 f(x)在 x=1 处取得极值，试确定 a，b 的值，并求出函数 y=f(x)的表达式。18 计算 ，其中 D：x 2+y21。19 求微分方程
4、 y一 2y一 3y=3z+1 的通解。20 判断级数 的收敛区域。四、综合题21 已知 y= ，求：21 已知某曲线在(x，y) 处的切线斜率满足 y= +4x2，且曲线通过(1 ，1)点。22 求 y=y(x)的曲线方程；23 求由 y=1，曲线及 y 轴围成区域的面积；24 上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积。五、证明题25 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，0f(x)1，求证： 10f(x)dx210f3(x)dx。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解
5、析】 选 D 项。2 【正确答案】 C【试题解析】 逐一验证：对于 A 项，y=e x，e 1e，不满足 f(一 1)=f(1)，选项B，y=1+|x| ，在 x=0 处不可导，不满足， D 项 y=1 一 在 x=0 处不连续，故排除，选 C 项。3 【正确答案】 B【试题解析】 令 g(x)=(x2 一 12)(x2 一 22)(x2 一 n2) f(x)=x.g(x) f(x)=g(x)+xg(x) f(0)=g(0)+0=(一 12)(一 22)(一 n2)=(一 1)n(n!)2 选 B 项。 注：本题用导数定义计算更方便！4 【正确答案】 B【试题解析】 (1)f(x)= +2bx
6、 一 3，f(1)=0，a=3 2b。(2)f(2)=0， a=68b，一得 6b 一 3=0 得 b= 代入 得 a=2 故a=2，b= 。答案选 B 项。5 【正确答案】 D【试题解析】 (1)原式= = 一 2f(x)。(2)F(x)=e 2x，f(x)=(e 2x)=一 2e2x。(3)原式=一 24e2x=一 8e2x 选 D 项。6 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=ln 2x，f(x)=F(x)= lnx，xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)f(x)dx=2lnx ln2x+C，选 C 项。二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 本题是考查幂指函数求极限，先把极限变形
7、为 ，此题是形如 1型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解：注：等价无穷小替换8 【正确答案】 =1【试题解析】 由已知可得 f(x)=4x 一 1，令 4x 一 1= =3，解该方程即为满足拉格朗日定理的 =1。9 【正确答案】 1【试题解析】 dxdy=SD= 12=1。10 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，所以11 【正确答案】 f(x，y)dx+ f(x，y)dx【试题解析】 由原二次积分可知原函数的积分区域 D 如图 a，显然原二次积分是按 X 一型看待的，现在我们按照 Y 一型看待，如图 b，则原二次积分可以写成f(x， y)dx+ f(x，y)dx12 【正确答案
8、】 【试题解析】 分离变量得一 yeydy=xdx，两边积分得 一 yeydy=xdx 解得(y+1)ey= +C，代入 =0，得 C= ，即特解为(y+1)e y=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 = ， =e114 【正确答案】 =t，15 【正确答案】 =y+2x.f( )+x2.f( ).( )=y1f( )+2x.f( ) =x+x2.f( ).=x1+f( )16 【正确答案】 原式= d(1+lnx)= +C17 【正确答案】 由“ 过原点的切线平行于 2x+y 一 3=0”，可知：= 一 2 b= 一 2。“f(x)在 x=1 处取得极值”(连续、可导)
9、=0 a=2/3f(x)=2x2 一 2 y=f(x)=(2x22)dx= x32x+C1，又 y(0)=0，得 C1=0 y= x3 一 2x。18 【正确答案】 19 【正确答案】 对应齐次方程的特征方程为 一 2 一 3=0，得 1= 一 1， 2=3，于是对应齐次方程的通解为 =C1ex+C2e3x(其中 C1，C 2 是任意常数)，因为 =0 不是特征根，所以可设方程的特解为 y*=Ax+B，将其代入原方程，得 A= 一1，B= ，即 y*= x+ ，故微分方程 y2y一 3y=3x+1 的通解为 y= +y*=C1ex+C2e3xx+ (其中 C1，C 2 是任意常数)20 【正确
10、答案】 因为 =1，所以所给幂级数 的收敛半径为 R= =1，收敛区间为(一 1，1)当 x= 一 1 时，幂级数 为 P= 的 P 级数，所以发散。当x=1 时，幂级数 为交错级数，且是收敛的，故收敛区域为(一 1，1 。四、综合题21 【正确答案】 由 y= ，得函数的定义域为x|x R，且 x1)，y=，令 y=0 得驻点 x=0，x=3，这里 x=1 不能算作不可导点，因为它不在定义域内，列表讨论(这里虽然不对 x=1 这点讨论，但是由于它是函数的间断点，把定义域分开了，所以在表中也单列出来)由上表可得单调递增区间为(，1)，(3，+)；单调递减区间为(1，3)，极小值为 f(3)=
11、，由 y= ，继续得到 y= ，令 y=0 得 x=0，这里同样 x=1 也不能算作二阶不可导点，因为它不在定义域内。由于只有一个二阶导数等于零的点，所以这里就不需要列表讨论了，简单叙述一下即可因为当 x0 时，y0，所以拐点为(0， 0)凹区间为 (0，1)， (1，+)；凸区间为(一，0)，对于渐近线，由于=，所以 x=1 是一条垂直渐近线，而 =，所以没有水平渐近线。22 【正确答案】 y+ y=4x2，p= ，q=4x 2，p(x)dx= =lnxq(x)ep(x)dxdx=4x2xdx=x4y= =x3+ ，由 y(1)=1，得 C=0，y=x 3。23 【正确答案】 S=24 【正确答案】 V=五、证明题25 【正确答案】 首先证明不等式 (0x1)，令 F(x)=，F(x)= =再令 (x)=2 f(t)dtf2(x)则 (x)=2f(x)一 2f(x)f(x)=2f(x)1 一 f(x)，因为 f(0)=0，f(x)0，所以 f(x)单增，当 x0 时，f(x)f(0)=0，又0f(x)1，于是 (x)0，由此 (x)单增，当 x0 时，(x)(0)=0，所以又有 F(x)0，由此 F(x)单增，当 x0 时，F(x)F(0)=0，故 F(1)0，从而有。
