1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列极限求解正确的是( )。（A） =1（B） =1（C） =e（D） sin(2x+1)=02 函数 y= 的单调减少区间为( ) 。（A）(一， +)（B） (一，一 1)U(一 1，+)（C） (0，+)（D）(一， 0)3 定积分 20|x 一 1|dx=( )。（A）0（B） 2（C）一 1（D）14 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线部分 Lxdy 一 2ydx 的值为( )。（A）（B）（C）（D）5 下列结论正确的是( ) 。（A） 收敛
2、（B） 收敛（C） 收敛（D） 收敛6 设 f(x)= ，则 f(x)=( )。（A）sinx 4（B） 2xsinx2（C） 2xcosx2（D）2xsinx 4二、填空题7 =_。8 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_。9 y= +1 的水平渐近线是 _。10 已知 =1，则 k 的值为_。11 设曲线 y=x2+x+2 上点 M 处的斜率为一 3，则点 M 的坐标是_。12 设向量 a， b，令|a+b|=|a 一 b|，a=3，一 5，8，b=一 1，1，z，则z=_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求 。14 已知 z=arctan ，求 dz。15 已知xf
3、(x)dx=arcsinx+C ，求 。16 若函数 y=y(x)是由参数方程 所确定，求 ， 。17 设 y=f(x)满足 y3y+2y=2ex，其图形在(0 ，1)处与曲线 y=x2x+1 在该点处切线重合，求 f(x)表达式。18 求直线 在平面 x+y+2z 一 1=0 上的投影线方程。19 求二重积分 1+x3 一(x 2+y2)dxdy，其中 D 为 x2+y22ay。20 将函数 y=xlnx 在 x=1 处展开为幂级数，并指出成立范围。四、综合题21 在直角坐标系的第一象限内作 4x2+y2=1 的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。22 某公司的甲、乙两厂
4、生产同一种产品，月产量分别是 x，y(千件)，甲厂的月生产成本是 C1=x2 一 2x+5(千元 )，乙厂的月生产成本是 C2=y2+2y+3(千元)。若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。23 把一根长为 a 的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小。五、证明题24 设 f(x)在a，b上连续(ab) ，且 f(x)0，证明： =0江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 63 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 xlnx=
5、 =0， =e1，当 x0 时， 为有界函数，x 为无穷小量，故其乘积也为无穷小。=0， =0，而 sin(2x+1)有界，所以 sin(2x+1)=0，故选 D 项。2 【正确答案】 B【试题解析】 y=3 【正确答案】 D【试题解析】 原式= 10(1x)dx+21(x1)dx= =1。4 【正确答案】 B【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，可表示为于是 Lxdy2ydx= d=+ =5 【正确答案】 A【试题解析】 n时， ，即 =1，又 收敛，由比较判别法可知 收敛。 =1，而调和级数 发散，所以 发散。 =20，原式 发散。不存在，原式 发散。6 【正确答案】
6、 D【试题解析】 利用变上限积分求导法则，f(x)=sinx 4(x2)=2xsinx4。二、填空题7 【正确答案】 e 6【试题解析】 8 【正确答案】 一 1【试题解析】 f(x)=f(0) =a a= 19 【正确答案】 y=1【试题解析】 =110 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 y=2x+1= 一 3 x= 一 2，代入到原方程得 y=4。12 【正确答案】 1【试题解析】 因为 a+b=2，一 4，8+z ，ab=4，一 6，82，由|a+b|=|ab|有 ，解得 z=1。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式=e
7、114 【正确答案】 ， dz=15 【正确答案】 xf(x)=(arcsinx)= ，则 f(x)= ， =+C=+C16 【正确答案】 由参数方程求导法则=17 【正确答案】 r 2 一 3r+2=O r1=1，r 2=2，所以 y=C1ex+C2e2x，y=Axe x，则y=A(1+x)ex， =A(2+x)ex，代入原方程得 A(2+x)ex 一 3A(1+x)ex+2Axex=2ex，化简得 A= 一 2，所以 y*=2xex，所以 y=C1e2x+C2e2x 一 2xex，则 y=C1ex+2C2e2x 一2(1+x)ex 根据已知条件，图像经过点(0，1)，所以有 y(0)=1；
8、又切线的斜率 k=(2x一 1)|x=0= 一 1，所以有 y(0)= 一 1，这样就得到了两个初始条件，分别代入得 C1+ C2=1，C 1+2C22= 一 1，解得 C1=1，C 2=0，因此 y= 一 ex 一 2xex。18 【正确答案】 19 【正确答案】 由对称性知 =0 原式= (1r2)rdr= d= (2a2sin24a4sin4)d= (2a2sin24a4sin4)d=4a2 sin2d8a4 sin4d=4a2 8a4 =a2a4 本题也可以这样做， 1+x3(x2+y2)dxdy= dxdy+ x3dxdy (x2+y2)dxdy= dxdy (x2+y2)dxdy=
9、a2 r2.rdr=a 2 a4 这里的 a2 就是积分区域的面积，即半径为 a 的圆的面积，这里 x2+y2=2ay x2+(ya)2=a2，即圆心为(0，a)，半径为 a 的圆。20 【正确答案】 y=xlnx=(x 一 1)lnx+lnx=(x 一 1)ln(1+x 一 1)+ln(1+x 一 1)=(x 一 1)(x 一 1)n+1+ (x 一 1)n+1= (x 一 1)n+2+ (x 一1)n+2+(x 一 1)=(x 一 1)+ (x 一 1)n+2=(x 一 1)+(x 一 1)n+2=(x 一 1)+ (x 一 1)n+2，又一1x11，所以 0x2。注：一般来说，一个题目中
10、用到两个幂级数展开公式的时候，需要把它们合并到一起。四、综合题21 【正确答案】 根据题意画出图形： 设切点为(x，y)=(x，)，由 4x2+y2=1 求导得：8x+2y =0， = ，k= = 切线方程为 y = 令 x=0 得 y= + =令 y=0 得 x=X+ = 则 S(X)= 求 S(X)的最小值即求 的最大值，令 F(X)= 则 F(X)= +X =0，解得 X= 唯一驻点所以切点坐标为22 【正确答案】 本题为求函数 z=f(x，y)=x 2+y2 一 2x+2y+8 在条件 x+y 一 8=0 下的条件极值。方法一：用拉格朗日乘数法总成本 f(x，y)=x 2+y2 一 2
11、x+2y+8，约束条件 (x，y)=x+y 一 8，作辅助函数 F(x，y)=x 2+y2 一 2x+2y+8+(x+y 一 8)，令，解得 x=5，y=3 ，由于驻点(5 ，3)唯一，实际中确有最小值。所以当 x=5 千件， y=3 千件时使总成本最小，最小成本为 f(5，3)=38 千元。方法二：化条件极值为无条件极值总成本为 z=f(x，y)=x 2+y2 一 2x+2y+8，约束条件 x+y 一8=0，将 y=8 一 x 代入 f(x，y)中，得 z=x2+(8 一 x)2 一 2x+2(8 一 x)+8=2x2 一20x+88zx=4x 一 20，令 zx=0，得 x=5。因为 zx
12、x40，所以 x=5 时 z 取极小值，又因为极值点唯一，所以 x=5 时，z 取最小值，此时 y=3，故 x=5 千件，y=3 千件时，总成本最小，最小成本为：f(5，3)=38 千元。23 【正确答案】 设围成圆形的长度为 x，面积设为 S1，则围成正方形的长度为 a一 x，而面积记为 S2，则 S(x)=S1(x)+S2(x)= + = + ，(0xa)S(x)= + (xa)=0，得 x=所以 x= 时，圆形面积与正方形面积之和最小。五、证明题24 【正确答案】 令 F(x)= 根据积分上限函数的性质知，F(x)在a，b上连续且可导，又 F(a)= + = 0，(f(x)0)F(b)= + = 0，(f(x)0)所以由零点定理知，方程F(x)=0 在(a ，b)内至少有一实根。又 F(x)=f(x)+ 0，于是 F(x)在(a ，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内与 x 轴只有一个交点，即方程 F(x)=0 在(a，b)内只有一个实根，故由、 知，方程 + =0 在(a ，b)内有且仅有一个实根。
