1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 ( )。（A）（B） 2（C） 3（D）2 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 ( )。3 ，则 k 的值为( )。（A）1（B）（C）（D）-24 下列无穷积分收敛的是( )。5 设 y=f(x)为a ，b 上的连续函数，则曲线 y=f(x)， x=a，x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形面积为( ) 。6 的间断点有( )。（A）一个（B）两个（C）三个（D）0 个二、填空题7 设 f(x)=(x500-1)g(x)，其中 g(x)在 x=l 处连续，g(1)=4，则 f
2、(1)。8 y=y(x)由 ln(x+y)=exy 确定，则 x=0 处的切线方程为。9 。10 。11 若函数 为连续函数，则 a+b。12 设函数 y=2x2+ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限 。14 求xln(1+2x)dx。15 将函数 f(x)=xln(1+x)展开为 x 的幂函数( 要求指出收敛区间)。16 设 z=xyf ，其中 f(u)可导，求 。17 求函数 的间断点并判断其类型。18 求 在e，e 2上的最大值。19 求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于 2x+y，并且曲线通过原点。20 求微分方程 满足
3、初始条件 y x=0=2，y x=0=-1 的特解。四、综合题21 设曲线 y=x2(0x1)，问 t 为何值时，图中的阴影部分面积 S1 与 S2 之和 S1+S2 最小。22 已知a = ，b=1， ，求 p=a+b，q=a-b 的夹角 。五、证明题23 证明：当 成立。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 用变量代换求极限，令 ，x0 时，t0，故选 C 项。2 【正确答案】 B【试题解析】 ，故答案为 B 项3 【正确答案】 B【试题解析】 根据结论：。4 【正确答案】 B【试题解析】
4、 。5 【正确答案】 C【试题解析】 对于在a，b上函数 f(x)有时取正值，有时取负值，所以求面积时f(x)要带上绝对值。6 【正确答案】 B【试题解析】 其定义域为 x3，间断点为 x=4，x=5 。二、填空题7 【正确答案】 2 000【试题解析】 8 【正确答案】 y-e=(e 2-1)x【试题解析】 由 ln(x+y)=exy，得 (1+y)=exy(y+xy)，x=0，y=e， (1+y)=e，k=y(0)=e 2-1，所以方程为：y-e=(e 2-1)x。9 【正确答案】 【试题解析】 。10 【正确答案】 1【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 b=-1，所以 a+
5、b=1。12 【正确答案】 -4【试题解析】 由极值存在的必要条件知：y x=1=0，即 4+a=0，故 a=-4。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 解：原式 。14 【正确答案】 15 【正确答案】 利用幂级数展开式 ，x，x ，-116 【正确答案】 17 【正确答案】 故 x=1 是函数的间断点，且是第一类跳跃间断点。18 【正确答案】 解： ，x1，所以，f(x)在e，e 2上的最大值为：19 【正确答案】 解：因为曲线在任一点的切线斜率等于 2x+y，所以 y=2x+y，即p=-1，q=2x ，又因为曲线通过原点 y(0)=0，所以-2+C=0，即 C=2，所
6、以 y=2ex+2x-2。20 【正确答案】 解：所求方程属于 y”=f(y，y)型，不包含 x。令 y=P，两边对 x求导，有 ，原方程化为 ，两边积分得 ln(1+P2)=lny+lnC1 所以 1+P2=C1y。由初始条件 y(0)=2，y(0)=-1 确定C1=1，于是有 1+P2=y 或 ，再注意 y(0)=-1，可知。积分即得通解 -x+C 2，由初始条件 y(0)=2，得 C2=2，因此所求特解为 +x=2。四、综合题21 【正确答案】 当 t= 时 S1+S2 最小【试题解析】 (1)选择 y 为积分变量(2)S=S 1+S2=(3)求极值t= 为极小值点，由单峰原理，也是最小值点当 t= 时 S1+S2 最小。22 【正确答案】 【试题解析】 (1)cos(p ，q) (2)P 2=a+b 2=(a+b)(a+b)=a 2+b 2+2(ab)=3+1+ =7，又q 2=a-b 2=(a-b)(a-b)=a 2+b 2-2(ab)=3+1- =4-3=1，。五、证明题23 【正确答案】
