1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 70 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 =2，则 =( )。（A）（B）（C） 2（D）42 要使 f(x)= 在点 x=0 处连续，应给 f(0)补充定义的数值是( )。（A）km（B）（C） lnkm（D）e km3 设 f(x2)=x4+x2+1，则 f(1)=( )。（A）1（B） 3（C）一 1（D）一 34 已知 f(x)=(x 一 3)(x 一 4)(x 一 5)，则 f(x)=0 有( )。（A）一个实根（B）两个实根（C）三个实根（D）无实根5 已知 f(x)的一个原函数为 cosx，g(x)的一个
2、原函数为 x2，则 fg(x)的一个原函数为( )。（A）x 2（B） cos2x（C） cosx2（D）cosx6 设 ex 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=( )。（A）e x(x+1)+C（B）一 ex(x+1)+C（C） ex(1x)+C（D）e x(x1)+C二、填空题7 微分方程 y+y=0 满足 ， 的解是 _。8 若 f(2)=2，则 =_。9 过点 P(1，2，3)且与直线 平行的直线方程为 _。10 =_。11 已知 x0 时，a(1cosx)与 xsinx 是等价无穷小，则 a=_。12 交换二重积分的次序： f(x，y)dy=_。三、解答题解答时应写出推理、
3、演算步骤。13 计算 。14 设 ，求 。15 计算： 。16 求方程 xy+yex=0 满足初始条件： =e 的特解。17 设 z=f(x2， )，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 ， 。18 求积分 dx。19 将函数 y=cos2x 展成关于 x 的幂级数。20 计算 dxdy，其中 D 是由直线 y=x，2y=x 及 x=1 围成的区域。四、综合题21 A 为 y=x2 上一点，过点 A 的切线为 l 且 l，y=x 2 与 x 轴所围图形面积为 ，求l，y= x 2 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。22 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx 一 9 具有如
4、下性质：22 已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25000+200x+ x2(元) ，产品产量 x 与价格 P 之间的关系为： P(x)=440 一 x(元)。求：23 要使平均成本最小，应生产多少件产品?24 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润。五、证明题25 证明：当 x 时，cosx1 一 x2 成立。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 70 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 =2t，则 x= ，当 x 时，t 0，则 = =2 【正确答案】 A【试题解析】 =lnekm=km，f(0)=
5、km，选 A 项。3 【正确答案】 C【试题解析】 (1)f(x 2)=(x2)2+x2+1， f(x)=x 2+x+1。 (2)f(x)=2x+1，f( 1)=一 2+1=一 1， 选 C 项。4 【正确答案】 B【试题解析】 (1)f(x) 在3，4连续在(3，4)， 可导且 f(3)=f(4)=0， f(x)在3，4满足罗尔定理条件， 故有 f(1)=0(312)=0，4 25 【正确答案】 B【试题解析】 (1)f(x)=(cosx)= 一 sinx，g(x)=(x 2)=2x， fg(x)=一 sin2x。 (2)(cos 2x)=2cosx(一 sinx)=一 sin2x， 选 B
6、 项。6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=e x，f(x)=F(x)= 一 ex， 原式=xdF(x)=xF(x)一F(x)dx=xe x 一exdx=(x+1)ex+C 选 A 项。二、填空题7 【正确答案】 y=sinx【试题解析】 y+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx，由题意得：C 1=0，C 2=1，所以方程的解为：y=sinx。8 【正确答案】 一 12【试题解析】 = 6f(x)= 129 【正确答案】 【试题解析】 设所求的直线为 l，其方向向量为 ，已知直线的方向向量取为n1n2=1，一 2，33，1，一 2=1，11，7，因为两直线平行，故 =1，11
7、，7直线方程为10 【正确答案】 0【试题解析】 11 【正确答案】 2【试题解析】 由题意 =1，所以 a=2。12 【正确答案】 【试题解析】 通过作图可得出结论三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式= =14 【正确答案】 = = = tcost， = ，所以 =15 【正确答案】 10xln(x+1)dx=10ln(1+x)d( )= = = + = 。16 【正确答案】 由 xy+yex=0，得 y= (ex+C)。 =e， C=0，故特解为：y= 。17 【正确答案】 令 u=x2，v= ，则 z=f(u，v)，= + ， = + =2x. + + += 2
8、x2yfuv(u，v)+xf vv(u，v)+yf v(u，v)。18 【正确答案】 = = arcsinx2d(arcsinx2)= (arcsinx2)2+C19 【正确答案】 y= (1+cos2x)= 1+1 + +(1)n +。x(一，+)20 【正确答案】 积分区域 D 如图所示，从被积函数的特点知，该积分应化为 “先对 y 积分，后对 x 积分” 的二次积分。 区域 D 可表示为：则dxdy= dy= dx=10 sin2xdx= 10(1cos2x)dx= (x sin2x)|10= sin2。四、综合题21 【正确答案】 设 A 点坐标为(x 0，x 02)，由 y=2x，得
9、切线方程为 yx20=2x0(xx0)或 x= y+ ，由已知 = dy= x30，所以 x0=1，过点A(1，1)的切线方程为 2xy 一 1=0。切线与 x 轴交点为 x= ，于是 V=10x4dx(2x1)2dx= =22 【正确答案】 由题意，得 f()=0，驻点为(1，0) ，f(1)=0 ，点(1,2) 为拐点，f(1)=2，分别代入方程 f(x)=3ax2+2bx+c ，f(x)=6ax+2b，f(x)=ax 3+bx2+cx 一 9 得解得 a=一 1，b=3，C=9。23 【正确答案】 平均成本 = = +200+ ，令= + =0，得 x=1000，由经济意义知平均成本有最
10、小值且驻点唯一，故 x=1000 是最小值点，即当生产 1000 件产品时平均成本最小。24 【正确答案】 L(x)=xP(x)一 C(x)=440x x2(25000+200x+ x2)= x2+240x一 25000，令 L(x)= +240=0，得 x=1600，由经济意义知利润有最大值且驻点唯一，故 x=1600 是最大值点，即当企业生产 1600 件产品时，可获最大利润，最大利润是 L(1600)=167000(元)。五、证明题25 【正确答案】 设 f(x)=1 一 cosx x2，则 f(x)=sinx 一 ，令 f(x)=sinx 一=0，在区间 内解得 x=0。由 f(0)=1 一 0，知 f(x)=1 一 cosx 一 x2 在区间 内的最小值是 f(0)=0。故当 时， f(x)=1 一 cosx 一 x20，即cosx1 一 x2。
