1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 x0 时， 与 xsinx 是等价无穷小，则 a=( )。（A）1（B） -4（C） 4（D）32 下列函数中，在-1，1 上满足罗尔中值定理条件的是( )。（A）f(x)=（B） f(x)=x+5（C） f(x)=（D）f(x)=x+13 设 I=01dy02yf(x，y)dx+ 13dy03-yf(x，y)dx，交换积分次序后 I=( )。（A） 03dx03-xf(x，y)dy（B） 02dx03-xf(x，y)dy（C）（D）4 已知 ，则下列正确的是( )。5 xyy=
2、1，y(1)=1 的解是( )。（A）x（B） y2=2lnx+1（C） y2=lnx（D）y 2=x6 设 为正项级数，如下说法正确的是( )。二、填空题7 若 ，且 f(x)在 x=x0 处有定义，则当 A时，f(x)在x=x0 处连续。8 y=1+ 的水平渐近线是，垂直渐近线是。9 。10 设向量 a=(2，4，-5) ，b=(2 ，3，k)，若 a 与 b 垂直，则 k。11 二次积分 。12 交换积分的次序： 。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 ex+ysin(x+z)=0 确定 z=z(x，y)，求 dz。14 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)x 2+y22x
3、，y0。15 判别 的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛。16 求 的收敛半径与收敛域。17 求 =1-x+y2-xy2 的通解。18 求 y”+6y+13y=0 满足 y(0)=3，y(0)=-1 的特解。19 设 y= ，求 dy。20 求由方程 x2y2+y=1(y四、综合题21 A 点(1 ，1)为 y=x2 上一点，过点 A 的切线为 l，求 l，y=x 2 与 x 轴所围图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积。22 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx-9 具有如下性质： (1)在点 x=-1 的左侧临近单调减少； (2)在点 x=-1 的右侧临近单调增加； (3)其图形在点(1
4、，2)的两侧凹凸性发生改变。 试确定 a，b， c 的值。23 已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25 000+200x+ x2(元) ，产品产量 x 与价格 P 之间的关系为： P(x)=440- x(元) 。求：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2)当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润。五、证明题24 求出满足下列条件的最低次多项式：当 x=1 时有极大值 6，当 x=3 时有极小值2。25 设曲线 y= ，过曲线(2，2) 点处的切线与曲线 y= 及 y 轴所围成平面图形的面积，并求出平面图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积。江苏省专转本（高等数学）模拟
5、试卷 8 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， ，xsinxx 2 于是，根据题设有。故 a-4。2 【正确答案】 A【试题解析】 B、C 和 D 不满足罗尔定理的 f(a)f(b)条件。3 【正确答案】 C【试题解析】 通过图形得出结论。4 【正确答案】 C【试题解析】 。5 【正确答案】 B【试题解析】 。又因为f(1)=1 所以 1=2ln1+C，那么 C=1，所以 y2=2lnx+1。6 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 当 un 取 时，不对，排除。B 选项 0t不对，应是 l必收敛，D 仍然可用
6、条件收敛，且 是发散的，故排除，所以选 C。二、填空题7 【正确答案】 f(x 0)【试题解析】 根据连续的定义， f(x 0)，所以 A=f(x0)时，f(x) 在 x=x0 处连续。8 【正确答案】 y=1，x=1【试题解析】 y=1 是其水平渐近线。x=1 是其垂直渐近线。9 【正确答案】 【试题解析】 设 x=asect，dx=asecttantdt，换限：当 x=a 时，t=0 ；当 x=2a 时，t=，于是10 【正确答案】 【试题解析】 ab ab=0。11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 画出积分区域 D：1xe ，0ylnx，见图改写 D：0y
7、1，e yxe 便得原式 。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 -1-tan(x+z)dx-tan(x+z)dy【试题解析】 (1)令 F=ex+ysin(x+z)，F x=ex+ysin(x+z)+cos(x+z)Fy=ex+ysin(x-z)，Fz=ex+ycos(x+z)(2) =-1-tan(x+z)=-tan(x+z)dz=-1-tan(x+z)dx-tan(x+z)dy。14 【正确答案】 【试题解析】 。15 【正确答案】 绝对收敛【试题解析】 (1)这是任意项极数16 【正确答案】 收敛半径-10)驻点x=0。 (2)判别极值点 2y 2+2x2yy+4x
8、yy+2x2(y2+yy”)+y”=0，当 x=0 时 y=1 代入上式 2+0+0+0+y”(0)=0， y”(0)=-2四、综合题21 【正确答案】 解：设 A 点坐标为(x 0，x 02)，由 y=2x，得切线方程为 y-x02=2x0(x-x0)或 ，由已知 ，所以x0=1，过点 A(1，1)的切线方程为 2x-y-1=0。切线与 x 轴交点为 x= ，于是。22 【正确答案】 由题意，得 f(-1)=0，驻点为(-1，0)，f”(1)=0，点(1，0)为拐点，f(1)=2，分别代入方程 f(x)=3ax2+2bx+c，f”(x)=6ax+2b，f(x)=ax 3+bx2+cx-9 得
9、解得 a=-1，b=3，c=9。23 【正确答案】 解：(1)平均成本 ，令，得 x=1 000，由经济意义知平均成本有最小值且驻点唯一，故 x=1 000 是最小值点，即当生产 1 000 件产品时平均成本最小。(2)L(x)=xP(x)-C(x) 。令 L(x)= +240=0，得 x=1 600。由经济意义知利润有最大值且驻点唯一，故 x=1 600 是最大值点。即当企业生产 1 600 件产品时，可获最大利润，最大利润是 L(1 600)=167 000(元)。五、证明题24 【正确答案】 分析：对于多项式有两个极值，则该多项式的最低次数为三次。不妨设所求多项式为 y=ax3+bx2+cx+d，则 y=3ax2+2bx+c， 因为当 x=1 时有极大值6，当 x=3 时有极小值 2，所以 y(1)=6，y(3)=2，y(1)=0，y(3)=0 。25 【正确答案】 由 ，则在(2，2)点处的切线的斜率为 。于是切线的方程为 。
