1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知函数 f(x)的定义域为 1，2，则函数 F(x)=f(x+2)+f(2x)的定义域为( )2 极限 等于 ( )（A）（B）不存在（C） 0（D）13 设 f(x)= 则 x=0 是函数 f(x)的 ( )（A）可去间断点（B）第二类间断点（C）连续点（D）跳跃间断点4 下列区间中，使方程 x4x1=0 至少有一个根的区间是 ( )（A）（B）（C） (2，3)（D）(1 ，2)5 f(x)=(xx 0).(x)其中 (x)可导，则 f(x0)= ( )（A）0（B） (x0
2、)（C） (x0)（D）6 设 f(x)=x2sin (x0)且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）仅当 =f(0)=0 时才可微（B）在任何条件下都可微（C）当且仅当 n1 时才可微（D）因 在 x=0 处无定义，所以不可微7 若 f(x)在a，+)上二次可微，且 f(x)0，f(a) 0，f(x)0(x a)，则方程 f(x)=0在a ，+)上 ( )（A）没有实根（B）有多个实根（C）有且仅有一个实根（D）无法判断是否有实根8 下列函数在1，1 上满足罗尔定理条件的是 ( )（A）y=（B） y=1+x（C） y=x(x21)（D）y=ln(1+x)9 设函数 f(x
3、)有连续的二阶导数，且 f(0)=0， =1，则 ( )（A）f(0)是函数的极大值（B） f(0)是函数的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点10 若d(f(x)=d(g(x)，则下列各式中不成立的是 ( )（A）f(x)=g(x)（B） f(x)=g(x)（C） d(f(x)=d(g(x)（D）df(x)dx=dg(x)dx11 由曲线 y= ，直线 y=x 及 x=2 所围图形面积为 ( )12 I= ，则求该积分时正确做法为 I= ( )13 对于非零向量 a、b 满足 (a+3b)(7a
4、5b)，(a4b)(7a2b)，则向量 a、b 夹角为 ( )14 曲线 在 zOy 平面上投影曲线方程为 ( )15 函数 f(x， y)在点(x 0，y 0)处的偏导存在是函数 f(x，y)在该点连续的 ( )（A）充分条件不是必要条件（B）必要条件但不是充分条件（C）充要条件（D）既不是充分条件，也不是必要条件16 函数 z= 的定义域为 ( )（A）1x 2+y24（B） 1x 2+y24（C） 1x2+y24（D）1x 2+y2417 改变 积分顺序后为 ( )18 设区域 D 为 x2+y2R2，则 = ( )19 简单闭曲线 C 所围区域 D 的面积为( )20 设 un= ，则
5、级数 ( )21 设有数 收敛(a 为常数 )，则有 ( )（A）q1（B） q1（C） q1（D）q122 级数 的收敛域是 ( )（A）x1（B） x0（C） 0x1（D）1x023 微分方程 y2y=x 的特解应设为 y*= ( )（A）Ax（B） Ax+B（C） Ax2+Bx（D）Ax 2+Bx+C24 函数 y=f(x)图形上点(0，2)处的切线方程为 2x3y=6，且该函数满足微分方程 y=6x，则此函数为 ( )（A）y=x 32（B） y=3x2+2（C） 3y3x 32x+6=0（D）y=x 3+25 微分方程 xdyydx=y 2eydy 的通解为 ( )（A）y=x(e
6、x+C)（B） x=y(ey+C)（C） y=x(Ce x)（D）x=y(Ce y)26 若函数 f(x)满足 f(x0)=0，f(x 0)0，则函数 y=f(x)在点 x0 处将取得 ( )（A）极小值（B）极大值（C）最小值（D）最大值27 求广义积分 = ( )（A）（B） 0（C） 1（D）228 求 = ( )29 设 的收敛半径 R 为 ( )（A）R=2（B） R=1（C） R=（D）R=30 函数 z= 的定义域为 ( )（A）(x ，y) x+y1 （B） (x，y)x+y1（C） (x，y)x+y2 （D）(x ，y) x+y 1 且 x+y2二、解答题解答时应写出推理、演
7、算步骤。31 求极限32 设函数 y= ，求 y(n)33 求不定积分34 计算定积分35 设 z=36 求 (x2+y2)d，其中 D 为 y=x，y=x+a ，y=a 和 y=3a(a0)为边的平行四边形37 将函数 f(x)= 展成 x 的幂级数，并指明收敛区间38 求解微分方程 xlnxdy+(ylnx)dx=0 满足条件 y(e)=1 的特解三、综合题39 用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回送货物，已知每次拖 4 只小船，一日能来回 16 次，每次拖 7 只，则一日能来回 10 次，若小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回拖多少次，每次拖多少小船能使货运总量达到最
8、大?40 平面图形由抛物线 y2=2x 与该曲线在点 处的法线围成，试求：(1)该平面图形的面积；(2)该平面图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体体积四、证明题41 证明：当 x0 时，(x 21)lnx(x1) 2湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 ，所以 x=0 为可去间断点4 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x4 x1 则 f(1)0，f(2)0 由连续函数介值定理，至少存在一点 (1，2)，使 f()=0
9、，即 为方程 f(x)=0 的根5 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=(x)+(xx 0)(x)，所以 f(x0)=(x0)6 【正确答案】 C【试题解析】 当 n1 时， =0，即 f(0)=07 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(a)=A0，且 f(a)0，所以过点(a，A)的切线倾斜角为第象限角，切线如图所示设其与 x 轴交点为 C，又 f(x)0(xa)，所以曲线为凸即曲线必位于过(a，A)点切线的下方再 f(x)为减函数由于 f(a)0，所以f(x)0，说明 f(x)为减函数，于是 f(x)与 x 轴只有一个交点为 B，且 BC，即方程 f(x)=0 仅有一个实根8 【正确
10、答案】 C【试题解析】 对于 A 选项 f(1)=1f(1)=1，所以 A 不正确；对于 B 选项 f (0)=1f +(0)=1，所以 B 不正确；对于 C 选项满足罗尔定理的条件；对于 D 选项x1，故选 C9 【正确答案】 C【试题解析】 因函数 f(x)有连续的二阶偏导数，且 =10，可知：f(0)=0，且 x0 时，f(x) 0，x0 时，f(x) 0，故点(0，f(0)为拐点10 【正确答案】 A【试题解析】 由d(f(x)=d(g(x)，可得 f(x)=g(x)+C11 【正确答案】 B【试题解析】 先画图，由图易知：选 B12 【正确答案】 B【试题解析】 13 【正确答案】
11、C【试题解析】 14 【正确答案】 B【试题解析】 联立方程消去 z 可行，通过该曲线母线平行 z 轴的柱面 y2=2x9，用 z=0 平面去截柱面便可得曲线在 xOy 面上投影曲线为15 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数偏导数存在是否与函数在该点的连续性没有关系16 【正确答案】 A【试题解析】 由 得 x2+y24且，由 ，得 x2+y2117 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D： ，如图所示，可将 D 写成 D1+D2，其中 故应选 B18 【正确答案】 C【试题解析】 19 【正确答案】 D【试题解析】 在格林公式中 取 Q=z，P=y，因 =Cydx+xdy 所以闭曲线
12、 C 所围面积为20 【正确答案】 C【试题解析】 为交错级数，且满足莱布尼兹收敛条件，其为收敛的；而级数 发散故应选 C21 【正确答案】 D【试题解析】 当q 1 时，级数 为公比绝对值小于 1 的几何级数是收敛的，所以级数 收敛22 【正确答案】 B【试题解析】 =ex 1 即 x0 时，级数收敛23 【正确答案】 C【试题解析】 因对应齐次方程 y2y=0 缺函数 y，而非齐次项 f(x)=x 为一次函数，故特解应设为：y*=(Ax+B)x24 【正确答案】 C【试题解析】 因 y=6x，所以 y=3x2+C1，当 x=0 时， 即 y=3x2+，所以 y=x3+ +C2，当 x=0，
13、y=2 时，C 2=2 即 y=x3+ 2，故应选C25 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程变形：26 【正确答案】 A【试题解析】 本题正是判定驻点是否为极值点，是极大值点还是极小值点的判定定理27 【正确答案】 A【试题解析】 28 【正确答案】 B【试题解析】 29 【正确答案】 D【试题解析】 级数缺少偶次幂的项，从而根据比值审敛法求收敛半径：30 【正确答案】 D【试题解析】 要使二元函数有意义，必须二、解答题解答时应写出推理、演算步骤。31 【正确答案】 32 【正确答案】 33 【正确答案】 34 【正确答案】 35 【正确答案】 36 【正确答案】 首先画出积分区域 D把它
14、看做 Y 型，则37 【正确答案】 38 【正确答案】 将微分方程改写为 这是一阶线性微分方程，我们用公式法解三、综合题39 【正确答案】 由已知，增加了 3 只船，减少 6 次，设拖 x 只船，则增加 x4 只船，设减少 Y 次，由给定的比例关系，有 3：6=(x4)y，y=2(x4)，设运货总量为 M，则 M=x162(x4)=24x2x 2，M=244x ，令 M=0，x=6，所以一次拖6 只船，来回 12 次能使货运量达到最大40 【正确答案】 (1)因曲线 y2=2x 在点 处的导数为 =1，所以点处的曲线的法线方程为： 于是，曲线y2=2x 与法线 y= x 围成的平面图形如图(2)所求旋转体的体积为：四、证明题41 【正确答案】 令 f(x)=(x21)lnx(x1) 2，f(1)=0当 0x1 时，f(x)0f(x) ，f(x)f(1)=20 得 f(x)，f(x)f(1)=0 ，f(x) 于是 f(x)f(1)=0，即(x 21)lnx(x1) 2 当 1x+时，f(x)0，f(x)，f(x)f(1)=20 得 f(x)，f(x)f(1)=0，f(x) 于是 f(x)f(1)=0，即(x 21)lnx (x1) 2 当 x=1 时，(x 21)lnx=(x1) 2 综上所述，当 x0 时，(x 21)lnx(x1) 2
