1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f(x)=ln +1，则 f(x)+f(3x)的定义域为( )（A）(-3，1)（B） (1，3)（C） (-3，3)（D）(-3，-1) (1，3)2 下列函数中，图形关于直线 y=x 对称的是( )3 当 x0 时，下列函数是其他三个函数高阶无穷小量的是( )（A）x+x 2（B） 1-cosx（C） ax-1（D）ln(1- )4 极限 ( )5 f(x)在点 x0 连续，g(x) 在点 x0 不连续，则 f(x)+g(x)在点 x0( )（A）一定连续（B）一定不连续（C
2、）可能连续，也可能不连续（D）无法判断6 假定 f(x0)存在，则 ( )（A）mf(x 0)（B） nf(x0)（C） (m+n)f(x0)（D）(m-n)f(x 0)7 由方程 sin(xy)-ln =1 所确定的隐函数 x=x(y)的导数 dxdy 为( )8 设函数 y= 则 y(n)=( )9 下列函数在给定的区间上满足拉格朗日中值定理条件的是( )10 已知函数 f(x)在区间(1-1，+)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则( )（A）在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x()（B）在 (1-，1)和(1 ，1+)内均有 f(x)x（C）在
3、 (1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x（D）在(1-，1)内 f(x) x，在(1，1+)内 f(x)x11 曲线 y= ( )（A）有一条水平渐近线，一条垂直渐近线（B）有两条水平渐近线，一条垂直渐近线（C）有一条水平渐近线，两条垂直渐近线（D）只有垂直渐近线12 设函数 y=y(x)由参数方程为 =( )13 设ktan2xdx= lncos2x+C，则 k=( )14 f(x)有一个原函数 ，则f(x)dx=( )15 求广义积分 1+ =( )（A）ln2（B） -ln2（C） ln2（D）发散16 -aaf(x)dx=0af(x)dx+p，则 p=( )（A） 0
4、af(x)dx（B） a0f(x)dx（C） 0af(-x)dx（D） -a0f(-x)dx17 设 f(ex)=1+x，则 f(x)=( )（A）lnx+C（B） -lnx+C（C） xlnx+C（D） +C18 在下列定积分中，其值为 0 的是( )（A） -|sin2x|dx（B） -11cos2xdx（C） -2xdx（D） -11|cos2x|dx19 设 f(x)为连续函数，则下列命题正确的是( )20 直线 与平面 x-y-z+1=0 的关系是( )（A）垂直（B）相交但不垂直（C）直线在平面上（D）平行21 函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 都存在，则
5、( )（A）z=f(x，y)在点(x 0，y 0)一定连续（B） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)一定不连续（C） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)连续是否和两个偏导数值有关（D）和 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)连续与否无关22 设 z=xy，则 dz|(2，1) =( )（A）dx+dy（B） dx+2ln2dy（C） 1+3ln2（D）023 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点(-2 ，3)取到极小值-3则常数 a，b，c 的积为( )（A）30（B） 20（C） 10（D）124 改变二次积分 01dx f(x，y)dy+ 12dx02-xf(
6、x，y)dy 的积分次序后，就是( )25 累次积分 02Rdy f(x2+y2)dx(R0)化为极坐标形式的累次积分为( )（A） 0d02Rsin（B） d02Rcos（C） d02Rsinf(r2)rdr（D） 0d02Rcosf(r2)rdr26 I=L(x2-2y2)dx-4xydy，其中 L 是从点 A(0，1)沿曲线 y= 到点 B(，0)的一段弧，则 I=( )27 级数 (a 0)( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关28 若 anxn 在 x=-3 处条件收敛，则其收敛半径 R( )（A）大于 3（B）小于 3（C）等于 3（D）不能确定29
7、微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解为( )（A）3x 2+xy=C（B） 3x2-x=C（C） 2x2+xy=C（D）3x+x 2y=C30 微分方程 +10y=0 的通解为( )（A）y=C 1cosx+C2sinx（B） y=e-3x(C1cosx+C2sinx)（C） y=e3x(C1cosx+C2sinx)（D）y=C 1cos3x+C2sin3x二、填空题31 设 f(x+2)=x2+1，则 f(x-1)=_32 极限 =_33 曲面 x-yz+cosxyz=2 在点(1，1，0)处的切平面方程为_34 设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则 f(4)
8、=_35 函数 y=x3。在区间-1 ， 2上满足拉格朗日中值定理条件的 是_36 37 已知 f(t)dt=x4，则有 01f(x)dx=_38 已知矢量 a=3，2，-2与 b=1，52，m 垂直，则 m=_39 若 f(x，y)= ，则 fx(2，1)=_40 判断积分符号 dxdy_0，其中区域 D 为 x2+y2441 已知函数 f(x)有连续的导数，当 f(x)满足_时，曲线积分 C(1+ f(x)ydx-f(x)dy 与积分路径无关，若 f(1)=12，则 f(x)=_42 若正项级数43 幂级数 (2x-1)n 的收敛区间为_44 微分方程 y“-y=0 的通解为_45 微分方
9、程 y“-2y+y=z-2 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 设函数 y= ，求 y(n)48 求不定积分ln(x+ )dx49 计算定积分 01 dx50 51 求 (x2+y2)d，其中 D 为 y=x，y=x+a ，y=a 和 y=3a(a0)为边的平行四边形52 将函数 f(x)= 展成 x 的幂级数，并指明收敛区间53 求解微分方程 xlnxdy+(y-lnx)dx=0 满足条件 y(e)=1 的特解四、综合题54 某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y，(0)，求
10、使产鱼量最大的放养数55 过点(1 ，0)作抛物线 y= 的切线，求这条切线、抛物线及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体的体积 V五、证明题56 证明：当 0x 1x 22 时，x 2x 1tanx 2tanx1 湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 f(x)的定义域 D1，解不等式 0，得到D2=x|x|1)，所以 f(x)+f(3x)的定义域 D=D1D2=(x|1|x|3)=(-3 ，-1)(1，3)2 【正确答案】 C【试题解析】 一个函数和它的反函数的图形
11、关于直线 y=x 对称，由此可知题目中满足要求的函数的反函数必是它本身，所以选 C 就是很显然的了3 【正确答案】 B【试题解析】 A 的等价无穷小为 x+x2；B 的等价无穷小为 x2；C 的等价无穷小为xlna；D 的等价无穷小为- 由高阶无穷小的定义，应选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 设 F(x)=f(x)+g(x)，若 f(x)+g(x)在点 x0 连续，则 F(x)在 x0 连续而g(x)=F(x)-f(x)由连续函数性质，则 g(x)在 x0 连续，此与已知矛盾故 f(x)+g(x)不连续6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】
12、A【试题解析】 sin(xy)-ln =1 变形为 sin(xy)-ln(x+1)+lny=1 两边对 y 求导，得cos(xy)(xy+x)- 该题也可利用二元函数隐函数求导的公式8 【正确答案】 D【试题解析】 9 【正确答案】 C【试题解析】 sin 在-1，1上不连续；1- 在(-1，1)上不可导； 在-1，0上不连续，而 ln(2+x)在-1 ，1上连续，在(-1，1)上可导所以 C 满足定理条件10 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)在(1-，1+) 上 f(x)严格单调减少，得 f“(x)0，推得 f(x)在(1-，1+)上为凸弧由 f(1)=f(1)=1，可知点(1，1
13、)在曲线 y=f(x)上，且此点处的切线为 y=x，由于凸弧在其任一切线下方，故在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x11 【正确答案】 B【试题解析】 =故可知曲线有两条水平渐近线 y=0，y=1 一条垂直渐近线 x=012 【正确答案】 B【试题解析】 由 x=1 推得 t=013 【正确答案】 B【试题解析】 由不定积分的定义可知，14 【正确答案】 B【试题解析】 由原函数的定义可知 f(x)= ，而f(x)dx=f(x)+C= +C15 【正确答案】 C【试题解析】 16 【正确答案】 C【试题解析】 0af(-x)dx -0-af(u)du=-a0f(u)du=-a0f(x
14、)dx，而 0af(x)dx+-a0f(x)dx=-aaf(x)dx，故 p=0af(-x)dx17 【正确答案】 C【试题解析】 令 t=ex 则 x=lnt 所以 f(ex)=1+x 变为 f(t)=1+lnt 则 f(t)=(1+lnt)dt=dt+lntdt=t+tint-t+C=tlnt+C，即 f(x)=xlnx+C18 【正确答案】 C【试题解析】 从定积分的几何意义出发很容易看出 -cos2xdx=019 【正确答案】 D【试题解析】 由定积分的定义可知 A 应该是一个数， B 应该为 0，而由不定积分的定义知，C 应为 f(x)+C由可变上限定积分定义可知 D 正确20 【正
15、确答案】 D【试题解析】 直线 化为标准方程 ，直线的方向向量 s=1，-1，2，平面的法向量，n=1，-1， -1，sn=1，-1，2)1，-1，-1)=1+1-2=0所以直线与平面平行，又直线上的点(3 ，0，-2)不满足平面方程故直线与平面确为平行关系21 【正确答案】 D【试题解析】 函数 f(x，y)= 在(0，0)点不连续，但在(0，0)点的两个偏导数 =0这说明函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 都存在，和 z=f(x，y) 在(x 0，y 0)点连续与否无关22 【正确答案】 B【试题解析】 于是 dz|(2，1) =dx+2ln2dy23 【正确答案】
16、 A【试题解析】 由极值的必要条件知，点(-2，3)满足以下方程组：解得 a=-1，b=-6，C=524 【正确答案】 D【试题解析】 根据题给二次积分画出积分区域图 它可以表示为 D=(x，y)1|0y1， x2-y故01dx f(x，y)dy+ 12dx02-xf(x，y)dy= 01dy f(x，y)dx25 【正确答案】 C【试题解析】 根据题给累次积分画出积分区域图 它在极坐标系下可表示为26 【正确答案】 B【试题解析】 P=x 2-2y2，Q=-4xy，在 xOy 平面内， =-4y= ，从而积分与路径无关另取路径，折线 AO：x=0；OB：y=0 原式= AO+OB(x2-2y
17、2)dx-4xydy=0x2dx=27 【正确答案】 B【试题解析】 散，所以原级数条件收敛28 【正确答案】 C【试题解析】 因 anxn 在 x=-3 条件收敛，故|x|3 时 anxn 发散若不然，必存在 x1，使|x 1|=3，且有 x=x1 处 anxn 收敛，由阿贝尔定理可知|x|x 1|时，特别是 x=-3 时， anxn 绝对收敛，这与题设在 x=-3 处条件收敛矛盾故收敛半径R=329 【正确答案】 A【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程，齐次方程原方程化为 y=-6，由一阶线性方程通解公式得 即通解为3x2+xy=C 该题若看做齐次方程，做起来会比较麻烦另外，原方程也可化作
18、6xdx+ydx+xdx=0整理可得 d(3x2+xy)=0积分得通解 3x2+xy=C30 【正确答案】 B【试题解析】 特征方程 r2+6r+10=0 的根为 r=-3I 故微分方程的通解为 y=e-3x(C1cosx+C2sinx)二、填空题31 【正确答案】 x 2-6x+10【试题解析】 由 f(x+2)=x2+1=(x+2)2-4x-3=(x+2)2-4(x+2)+5 得 f(x)=x2-4x+5，所以f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+5=x2-6x+1032 【正确答案】 x-z-1【试题解析】 33 【正确答案】 x-z-1=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=x-
19、yz+cosxyz-2，所以曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=F x，F y，F z=1-yzsinxyz，-z-xxsinxyz，-y-xysinxyz， 于是点(1，1，0)处的切平面的法向量为：n 1=1，0，-1 ， 故切平面方程为：(x-1)+0(y-1)-(z-0)=0 即 x-z-1=034 【正确答案】 41【试题解析】 由解析式可知，在导函数中，有四项含有(x-4)的因子，将 4 代入这些项全为 0，而仅有 x(x-1)(x-2)(x-3)不含(x-4)因子，将 4 代入得 f(4)=4!35 【正确答案】 =1【试题解析】 y=3x 2，所以 =32， 2=1，在开区间
20、(一 1，2)上， 只能取值 136 【正确答案】 0【试题解析】 因为 ab dx 为一定数，而定数的导数为 037 【正确答案】 1【试题解析】 取 x2=1，则 x4=138 【正确答案】 4【试题解析】 根据向量垂直的充要条件得 3+5-2m=0 所以 m=439 【正确答案】 12【试题解析】 f x= 所以 fx(2，1)=1240 【正确答案】 【试题解析】 将积分区域 D 分成 D1，D 2，D 3，其中 D1：x 2+y21，D 2：1x 2+y2x2+y2441 【正确答案】 【试题解析】 时曲线积分与路径无关，所以有 f(x)+42 【正确答案】 收敛【试题解析】 43
21、【正确答案】 (0，1)【试题解析】 2(n)所以收敛半径 R=12 所以收敛区间为(0，1)44 【正确答案】 y=C 1+C2 ex【试题解析】 因特征方程为，r 2-r=0 所以 r=0，r=1 所以原方程的通解为 y=C1+C2 ex45 【正确答案】 y=(C 1+C2X)ex+x【试题解析】 先求对应齐次方程 y“-2y+y=0 的通解，因特征方程为： r 2-2r+1=0，r=1 为重根，所以齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)ex设 y*=Ax+B 为原方程的特解则 y*=A，y*“=0，将 y*、y*、y*“代入原方程有： -2A+(Ax+B)=x-2，所以 A=1，B=0
22、，于是 y*=x，原方程的通解为 y=(C1+C2x)ex+x三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 48 【正确答案】 49 【正确答案】 50 【正确答案】 51 【正确答案】 首先画出积分区域 D，把它看做 Y 型，则 (x2+y2)d=a3adyy-ay(x2+y2)dx=a0 x2+y2x)|y-aydy=14a252 【正确答案】 =1+x+x2+x3+xn+= xn，|x| 153 【正确答案】 将微分方程改写为 这是一阶线性微分方程，我们用公式法解四、综合题54 【正确答案】 由题设知两种鱼的收获总量为：z(x，y)=(3-x-y)x+(4
23、-x-2y)y=3x+4y-x2-2y2-2xy 因 =4-4x-2x由实际意义知，确实存在两种鱼收获量的最大值，目前仅有一个驻点，于是知点 即为最大值点，即甲种鱼放养 万尾；乙种鱼放养 万尾时，两种鱼的收获量最大55 【正确答案】 首先求过点(1，0)的抛物线 y= 的切线方程设切线的切点为(x 0， y0)，则有 于是，求解得切点(3，1)，进而切线方程为：y-0= (x-1)，即 x-2y-1=0 这条切线、抛物线及 z 轴所围成的平面图形如图 于是，所示旋转体的体积为：V= 13 (x-1)2dx-23(x-2)dx=五、证明题56 【正确答案】 当 0x 1x 22 时，要证 x2 x1tanx 2tanx 1 成立，只须证：tanx1x 1tanx 2x 2 成立，为此作函数 y=0(因为 x0 时，xsinx进一步得xsinxcosx)，即 y=tanx x 在(0，2)上为增函数，于是对于当 0x 1x 22有：y(x 1)y(x 2)即 tanx1x 1tanx 2x 2 成立故原不等式成立
