1、2014 年 4 月全国自考高等数学（工本）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 下列曲面方程中，是旋转曲面方程的为2 函数 f(x,y)=x+y 的全微分 df(x，y)= ( )（A）1（B） 2（C） dx+dy（D）dx 一 dy3 在曲线 x=t，y=t 2，z= 一 t3 的所有切线中，与平面 x+2y+z3=0 平行的切线 ( )（A）只有一条（B）只有二条（C）只有三条（D）不存在4 微分方程 =2y 的满足 y(0)=1 的特解为 ( )（A）（B） y=x2+1（C）（
2、D）y=2x+15 幂级数 的收敛域是 ( )（A）(一 1,1)（B） 一 11（C） (一 1，1（D）-1，1)二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 a=3，一 1，2，b=1 ，2，一 1，则 a.b=_7 已知函数 f(x，y)=x 8ey，则8 设积分区域 D：x 2+y29，则二重积分 f(x，y)dxdy 化为极坐标系下的二次积分为_9 微分方程 y“一 y=0 的特征方程为_10 设函数 f(x)= 的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 S(0)=_三、计算题11 设平面 经过点(1，一 2，1)和点(7，一 5，2)，且平行于 x 轴，求
3、平面 的方程12 设方程 确定函数 z=z(x，y)，其中 f 为可微函数，求13 求曲面 z=2x+ 在点(1，2，2)处的法线方程14 求函数 在点(1，1)处的梯度15 计算二重积分 (ex+y3)dxdy，其中积分区域 D 是由 x=|y|和 x=1 所围成16 计算三重积分 (x+2y-z)dxdydz，其中积分区域 ：|x|1 ，0y2，0z417 计算对弧长的曲线积分 ，其中 L 为从点 A(0，1)到点 B(1，0)的直线段18 验证曲线积分 I=(1,1)(2,3)(6xy2 一 3x2y)dx+(6x2yx3)dx 与路径无关，并计算其值19 求微分方程 xy“+y=0 的
4、通解20 求微分方程 的通解21 判断无穷级数 的敛散性22 设|x|1，求幂级数 nx2 的和函数四、综合题23 设函数24 求曲面 (0z1)的面积25 将函数 f(x)= 展开为(x 一 1)的幂级数2014 年 4 月全国自考高等数学（工本）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 C、D 为双曲线不是旋转曲面，A 为椭球面，且三个半径不等长，电不是旋转曲面只有 B 是旋转曲面2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 平面 x+2y
5、+z-3=0 的法法微量 n=1，2，1曲线 x=t，y=t 2,z=-t3 的切向量为 x=1，y=2t，z=一 3t2，即 m=12t，-3t 2若曲线的切线与平面平行，则两向量相互垂直即 m.n=0，得 1+4t 一 3t2=0解之得 t= 所以共有二条切线与平面平行4 【正确答案】 A【试题解析】 分离变量得 得 ln|y|=x2+C又因为 y(0)=1，代入得 C=0，所以 ln|y|=x2,即5 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知收敛半径 R=1，其收敛区间为(-1，1)、当 x=1 时级数为交错级数 该级数收敛，当 x=一 1 时该级数为 该级数发散，所以收敛域为(一 1 1
6、二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 一 1【试题解析】 a.b=31+( 一 1)2+2(一 1)=-17 【正确答案】 2 10【试题解析】 8 【正确答案】 0203f(rcos，rsin)rdrd【试题解析】 设 x=rcos，y=rsin ，其中 0r3， 02，则=0203f(rcos，rsin)rdrd9 【正确答案】 r 21=0【试题解析】 y“-y=0 的特征方程为 r21=010 【正确答案】 【试题解析】 由 ，当 x=0 时 ，bn=0所求和函数 f(0)=1+三、计算题11 【正确答案】 平面平行于 x 轴，则设其法向量 n=
7、(0，yz)，向量 m=(7，一5，2)-(1，-2，1)=(6，一 3，1)，则 m.n=0，即(0y，z).(6，-3，1)=3y+z=0，即平面方程 为-3y+z=012 【正确答案】 方程两边对 x 求导得13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 积分区域如图所示，则16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 由题意知 p=6xy2 一 3x2y，则 Q=6x2yx3，则因为 ，所以曲线积分 I 与路径无关因积分与路径无关，为计算方便，所以选择折线 ABC，如图所示，在 AB 段 y=1，dy=0，在 BC 段x=2，dx=0，于是 I=12(6x-3x2)dx+13(24y-8)dy=2+80=8219 【正确答案】 令 y=p，则原式为 xp+p=0分离变量得 两边积分得lnp=一 lnx+C，则 令 代入 xp+p=0 得 u(x)=0，则u(x)=C， y=C1ln|x|+C220 【正确答案】 则 p(x)=一 1，Q(x)=x代入公式得y=xe-1dxdx+Ce-1dx=xe-xdx+Cex=(一 xe-x+e-x+C)ex=Cex 一 x+121 【正确答案】 22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 24 【正确答案】 由题意知，在 xOy 面上的投影为圆形区域 D：x 2+y225 【正确答案】
