1、2015 年 10 月全国自考（高等数学一）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 方程 x23x+2=0 的根为（A）x 1=1，x 2=2（B） x1=1，x 2=2（C） x1=1，x 2=2（D）x 1=1，x 2=22 设函数 f(x+2)=x2，则 f(x)=（A）x 22（B） (x 一 2)2（C） x2+2（D）(x+2) 23 极限（A）2（B） 0（C） 2（D）4 函数 f(x)= 的所有间断点是（A）x=0（B） x=1（C） x=0，x=1（D）x=1，x=15
2、设函数 f(x)可导，则极限（A） f(x)（B） f(x)（C） 2f(x)（D）一 2f(x)6 曲线 y=sinx 在点(0 ，0)处的切线方程是（A）y=x（B） y=x（C） y= x（D）y= x7 设函数 f(x)可导，且 f(x0)=0，则 f(x)在 x=x0 处（A）一定有极大值（B） 定有极小值（C）不一定有极值（D）定没有极值8 曲线 y=x33x2+2 的拐点为（A）(0 ，1)（B） (1，0)（C） (0，2)（D）(2 ，0)9 不定积分(sec 2x+1)dx=（A）secx+x（B） secx+x+C（C） tanx+x（D）tanx+x+C10 设函数 f
3、(x，y)=2x+ye xy+ ，则 f(2，1)=（A）6+e（B） 6+e1（C） 4+e（D）4+e 1二、计算题（一）11 判断函数 f(x)=2x2x 的奇偶性12 求极限13 求函数 f(x)=sin(2x2+3)的导数 f(x)14 求极限15 求函数 z=x2+y23x5y2 的全微分 dz三、计算题（二）16 确定常数的的值，使得函数 在 x=0 处连续17 已知某商品的价格函数为 P(Q)=200001Q( 元/件)，其中 Q 为销售量(件)(1)求总收益函数 R(Q)；(2)求 Q=50 时的边际收益18 求函数 f(x)=x33x+5 的单调区间19 设函数 y=0x
4、+x+ln(1+t) dt，求导数20 求微分方程 =2(y+1)的通解四、应用题21 设工厂生产 Q 吨某产品的总成本函数为 C(Q)= Q2+8Q+100(万元) (1)求平均成本函数 (2)问产量为多少时平均成本最低？并求最低平均成本22 设曲线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的平面图形为 D (1)求 D 的面积A；(2)求 D 绕 x 轴一周的旋转体体积 Vx23 求不定积分xsin2xdx24 计算二重积分 I= (x2+y2)dxdy，其中 D 是由直线 x=1、y=1 及 x 轴、y 轴所围成的平面区域2015 年 10 月全国自考（高等数学一）真题试卷答案与解析一、单
5、项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A2 【正确答案】 B3 【正确答案】 D4 【正确答案】 C5 【正确答案】 C6 【正确答案】 A7 【正确答案】 C8 【正确答案】 B9 【正确答案】 D10 【正确答案】 A二、计算题（一）11 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一，+) 因为 f(一 x)=2x2x=一 f(x)， 所以 f(x)是奇函数12 【正确答案】 13 【正确答案】 f(x)=cos(2x 2+3)(2x 2+3)=4xcos(2x2+3)14 【正确答案】 由洛必达法则，
6、原极限=15 【正确答案】 因为 所以 dz=(2x3)dx+(2y 5)dy三、计算题（二）16 【正确答案】 由题设，欲使函数 f(x)在 x=0 处连续， 所以 a=e 317 【正确答案】 (1)总收益函数 R(Q)=P(Q)Q=001Q 2+200Q， (2)边际收益函数 R(Q)=0020+200，当 Q= 50 时，边际收益为 R(50) =199(元/ 件)18 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一，) 令 f(x) =3(x 21) =0，得 x=1，x=1 因 x(一， 1)时，f(x)0；x( 1， 1)时，f(x)0； x(1，+)时，f(x)0 故 f(x)的单调增加区间为(，1)与(1，+)，单调减少区间为(一11)19 【正确答案】 20 【正确答案】 分离变量，得 两边积分 得通解 ln|y+1|=2x+C四、应用题21 【正确答案】 (1)平均成本函数 (2)令 =0，得唯一驻点 Q=20又 因此 Q= 20 为极小值点，即为最小值点 (注：若用“ 由问题的实际意义知最值存在且驻点唯一”论述最值亦可 )故产量为 20 吨时平均成本最低，且最低平均成本为(20)=18(万元/吨)22 【正确答案】 23 【正确答案】 24 【正确答案】 I= 01dx01(x2+y2)dx=01(x2+ )dx
