1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 24 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A，B 是两个同阶的上三角矩阵，那么 ATB T 是矩阵 ( )（A）上三角（B）下三角（C）对角形（D）即非三角也非下三角2 没 A 是 n 阶方阵，且A=5，则(5A T)-1= ( )（A）5 n+1（B） 5n1（C） 5-n1（D）5 -n3 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1= ( )（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B
2、（D）(A+B) -14 齐次线性方程组 的解的个数为 ( )（A）有惟一的零解（B）有无穷多个解（C）无解（D）不确定5 已知线性方程组 则下列判断正确的是 ( )（A）=2 时方程组有无穷多组解（B） =一 3 时方程组无解（C） =3 时方程组有无穷多组解（D）2 时方程组有惟一解二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 f(x)= 的根为_7 =_8 设 A，B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为_9 用初等变换将矩阵 A= 化为标准型为 _10 设向量组 1= 线性无关，则 a、b、c 满足的关系式是_11 n 阶矩阵 A 的秩为 n1 且
3、矩阵 A 的各行元素之和为 0，齐次线性方程组 Ax=0的通解为_12 设矩阵 A= 是 A 的一个特征向量，则 对应的特征值 =_13 若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵( A2)-1 必有特征值_14 设向量 = ，则 与 的内积 (，)= _15 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换下化为标准型 y12+2y22，则 A 的最小特征值为_三、计算题16 计算 D= 17 已知 AP=PB，其中 B= ，求 A 及 A518 a、b 为何值时，向量 =(3，10，b，4) 可由向量组 1=(1，4，0，2)，2=(2， 7，1， 3)， 3=(0， 1，一
4、 1，a) 线性表出19 设向量组 1= 求：(1)a、b 为何值时 不能由 1， 2， 3， 4 线性表示?(2)a、b 为何值时 能由1， 2， 3， 4 线性表示且表示式不惟一 ?20 已知线性方程组 (1)讨论 A 为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解(2)在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)21 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，A 对应于 1=一 1 的特征向量为 = ，求 A22 用配方法将二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x2+x32+3x324x1x24x1x3 化为标准型并写出可逆线
5、性变换四、证明题23 设 n 阶方阵 A 的秩满足r(A+I)+r(AI)=n，且 AI(单位方阵) ，证明：一 1 是 A 的一个特征值全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 24 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 A T，B T 均为下三角阵，因此 ATB T 也是下三角阵答案为 B。2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 由于(A -1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A
6、+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1B=B -1B=I，所以(A -1+B-1)-1=A(A+B)-1B答案为 C。4 【正确答案】 B【试题解析】 齐次线性方程系数矩阵 A 的秩为： r(A)=34，故齐次线性方程组有无穷多个解答案为 B。5 【正确答案】 B【试题解析】 对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上：这时就可发现若 =一 3，则矩阵最后一行前面 4 个数等于 0，而最后一个数等于 4，用方程式表示将得到 0=4，这表明方程组无解，故应该选 B答案为 B。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 2【试题
7、解析】 f(x)=3x+3+12 一 27+2x+2=5x 一 10=0x=2 7 【正确答案】 211【试题解析】 依据行列式计算法则：原式=一 2(一 2)(一 2)(一 2)(一 2)+3333300(一 2)030300(一 2)一 0(一 2)003030(一 2)0 一 (一 2)0030=一 32+2430=2118 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A、B 为 n 阶对称矩阵，则 AT=A，B T=B，因为 AB 也是对称矩阵 (AB)T=BTAT=BA=AB，故 A、B 都为 n 阶对称矩 AB则 AB 也为对称矩阵的充要条件为 AB=BA9 【正确答案】 【试题解析】
8、对 A 进行初等变换，有10 【正确答案】 a0，b0，c0【试题解析】 由于 1， 2， 3 线性无关，因此矩阵 A=(1， 2， 3)为满秩矩阵，即A= =2abc0 所以 a0，b0，c011 【正确答案】 k(1，1，1) Tk 为任意常数【试题解析】 Ax=0 的基础解系解向量的个数为 1由题没知 A(1，1，1)T=0，故(1，1，1) T0 为 Ax=0 的一个线性无关解，所以通解为 k(1，1，1)T，其中 k 为任意常数12 【正确答案】 1【试题解析】 根据特征值与特征向量的定义，A= 因此所以 =113 【正确答案】 【试题解析】 A 有特征值 =2，则14 【正确答案】
9、 一 3【试题解析】 (，)=1221+( 一 2)2+1(一 2)=一 315 【正确答案】 0【试题解析】 二次型在正交变换下的标准型为 y12+2y22+0y 32因此特征值为1=1， 2=2， 3=0，最小特征值为 0三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 由于P= =一 10，因此 P 可逆并且 A=PBP-1所以18 【正确答案】 ( 1T， 2T， 3T， T)当b=2，a1 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表不法惟一，= 一 1+22+03当b=2，a=1 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示法不惟一=一(2k+1) 1+(k+2)2+k319 【正确
10、答案】 设 =x11+x22+x33+x44，则 x1，x 2，x 3，x 4 是线性方程组的解，对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有(1)当 a=1 且 b=1 时，系数矩阵的秩=2 ，而增广矩阵的=3，所以方程组无解，即a=1 且 b=4 时 不能由 1， 2， 3， 4 线性表示；(2)当 a=1 且 b=3 时，系数矩阵的秩=3，而增广矩阵的秩=3，所以方程组有解且有无穷多解，即 可由1， 2， 3， 4 线性表示且表示式不惟一； 又当 a1 时，如果 a+b5=0，即 b=5一 a，则系数矩阵秩 =3 且增广矩阵秩=3，方程组有解且有无穷多解，所以 可由1， 2， 3， 4 线性表
11、示且表示式不惟一20 【正确答案】 (1)将线性方程组的增广矩阵 =(A，b)作初等行变换当 =一 2时，r(A)=2， =3，方程组无解；当 一 2 且 A1 时，r(A)= =3，方程组有惟一解；当 =1 时，r(A)= =13，方程组有无穷多个解(2)当 =1 时，同解方程组为 x1=一 2 一 x2x3对应齐次方程组的基础解系为 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T 非齐次方程组的一个特解 =(2，0，0) T，所以原方程组的通解为 x=k11+k22+(k1，k 2 为任意常数)21 【正确答案】 设属于 2=3=1 的特征向量为 x= ，则由(，x)=0 可得到
12、x2+x3=0于是得到两个线性无关的解向量 1=22 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 4x1x24x2x3=(x12 一 4x1x2+4x22)一2x22 一 4x2x3+3x32=(x1 一 2x2)2 一 2(x22+2x2x3+x32)+5x32=(x12x2)2 一 2(x2+x3)2+5x32将二次型化为标准型 f=y122y22+5y32四、证明题23 【正确答案】 由于 AI，所以 AI 不是零矩阵，从而 r(AI)1，因此由已知条件 r(A+I)n 一 1，A+I 是奇异矩阵，A+I =0，所以齐次线性方程组(A+I)X=0有非零解 即存在非零向量 使得(A+I)=0 A=0，A=一 ，所以 =一 1 是A 的一个特征值
