1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 10 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 已知3， 26，72，则. ( )（A）30（B） 24（C） 0（D）12 在空间直角坐标系中方程 2x23y 2z 210 表示的图形是 ( )（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）锥面（D）椭球面3 交换二次积分 的积分次序得 ( )4 幂级数 的收敛区间为 ( )（A）1 ，3)（B） (1，3)（C） (1，3（D）1 ，35 方程 ye xy 的通解为 ( )（A）e xe y1（B） exe y C（
2、C） exe yC（D）e xe y C二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 Oxz 平面上的抛物线 z25x 绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是_7 设函数 _8 计算 _，其中为 z x2y 2 上 z1 的部分9 微分方程 3z 1 的通解为 _10 设函数 f(x)7xx 2(x) 的傅里叶级数展开式为(ancosnxb nsinnx)，则其系数 b3_.三、计算题11 求与点 P1(3，1，2)和点 P2(5，0，1)的距离都相等的动点轨迹方程12 设 ，其中 f 有连续的偏导数，求 13 设函数 z f(x，xy)，其中 f 是可微函数，求 14 设三元
3、函数 ，求在点 A(1，0，1)处沿 A 指向点B(3，2，2)方向的方向导数15 求曲面 x22y 23z 0 在点(2，1，2) 处的法线方程16 I (x yz) 2dv，其中 ：x 2y 2z 2117 计算三重积分 I (xyz)dxdydz，其中 是由平面 x2，y2，z2 及坐标面所围成的闭区域18 计算 L(x2y 2)dx(x 2y 2)dy，其中 L 为 y11x，0x2 沿 x 增大方向19 计算对坐标的曲线积分 ydxxdy，其中 L 为圆周 x2y 2a 2(a0)，沿逆时针方向20 求方程 的通解21 判断级数 是否收敛如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛?22 设 p
4、 为正常数，就 p 的值讨论幂级数 的收敛域四、综合题23 求函数 z e2x(xy 2 2y)的极值24 求由平面 x0，y0，z0，xy1 及抛物面 xx 2y 2 所围成的曲顶柱体的体积25 将函数 展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 10 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 与 的夹角为 (0)，则 |sin78sin 72 从而|.|cos|3.26. 30答案为A2 【正确答案】 A【试题解析】 由于方程
5、(a0，b 0，c0)表示单叶双曲面， 2x2 3y2z 210 作变形为：2x 2z 23y 21 表示单叶双曲面答案为 A3 【正确答案】 B【试题解析】 xy 2 与 xy 的交点为(0，0)和(1，1)故答案为 B4 【正确答案】 D【试题解析】 令 t(x 2) 2，则所给幂级数成为 记知的收敛半径为 1并且，当t1 时， 成为 ，由交错级数的莱布尼兹定理知它是收敛的。于是所给幂级数的收敛区间为x|(x2) 211，3。答案为 D5 【正确答案】 D【试题解析】 将 ye x y 分离变量得 e y dye xdx。 e y dye xdx 从而 exe y C答案为 D二、填空题请
6、在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 y 2z 25x【试题解析】 本题考查曲线的旋转曲面的方程因为抛物线 z25x 绕其对称轴旋转，故有 y2z 25x7 【正确答案】 【试题解析】 本题考查多元函数的偏导数 8 【正确答案】 3【试题解析】 曲面的方程为 zx 2y 2(0z1)上图所示，在 xOy 平面上的投影区域为 Dxy：x 2y 21此时注意到9 【正确答案】 【试题解析】 本题考查一阶线性非齐次微分方程本题属于可分离变量的微分方程原方程可化为 dy(3x1)dx 两边积分得： 10 【正确答案】 【试题解析】 本题考查函数的傅里叶系数三、计算题11 【
7、正确答案】 设动点为 P(x，y，z) PP 1PP 2化简后得，所求轨迹方程为：2xy3z 6012 【正确答案】 13 【正确答案】 设 ux，vxy，则14 【正确答案】 15 【正确答案】 设 F(x，y，z)x 22y 23z Fx2x，F y4y，F z3Fx(2，1，2)4 F y(2，1，2)4 F z(2，1，2)3 所求法线方程为 16 【正确答案】 用对称奇偶性，球面坐标 ，积分区域如下图所示17 【正确答案】 18 【正确答案】 本题考查曲线积分的计算19 【正确答案】 设 D：x 2y 2a2，由格林公式得20 【正确答案】 本题考查微分方程的求解，原方程可化为21
8、【正确答案】 由柯西判别法得，绝对收敛22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 本题考查多元函数极值的求解 现令 zf(x，y)e 2x(xy 22y) fx(x，y)2e 2x(xy 22y)e 2x fy(x，y)e 2x(2y2) 令 fx(x，y)0，f y(x，y)0得： f“(x，y)22e 2x(xy 22y)e 2xe 2x 4e 2x(xy 22y)3e 2x f“xy(x，y)2e 2x(2y2)4e 2x(y1) f“ yy(x,y)2e 2x C2e B 2 AC 0e2e2e 2O 故 点为其极小值24 【正确答案】 柱体如下图所示：25 【正确答案】 本题考查函数的幂级数展开
