1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 11 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 的定义域是 ( )（A）(x，y)2x 2y 23)（B） (x，y)4x 2y 29（C） (x，y)4x 2y 29)（D）(x，y)2x 2y 232 已知 f(1，2)710ln2 为函数 f(x，y)ax 2bxyay 2clnxdlny 的极小值，则 a、b、c、d 分别为 ( )（A）1，1，4，10（B） 1，1，4，10（C） 1，1，4，10（D）1，1，4，103 设积分区域 D：x 2
2、y 23，则二重积分 (3)dxdy( )（A）9（B） 3（C） 3（D）9 4 方程 ysinzylny 满足初始条件 的特解是 ( )（A）（B） esinx（C）（D）5 设无穷级数 收敛，则 ( )（A）p1（B） p3（C） p2（D）p2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设向量 i2j3k 与 2imj6k 垂直，则 m_7 设函数 z ex sin2y，则 _8 二重积分 _，其中 B 是矩形域1， 1，2，2 9 微分方程 y“4y0 的通解 y_10 幂级数 在(1，1上的和函数是_三、计算题11 求与三个点 A(3，7，4)，B(5，7，4)
3、，C(5，1，4)的距离都相等的点的轨迹12 设函数 13 设 14 求函数 f(x，y)2xyx 2y 2 在点(1 ，2)处，沿与 x 轴正向成 60角的方向 l 的方向导数15 求函数 uxyz 沿从点 (1，0，1) 指向点(3，1，3)的方向 l 的方向导数16 计算二次积分 17 计算 I (x2y 2z 2)dv，其中 ：x 2y 2z 2a218 计算对弧长的曲线积分 L2xds，其中 L 是抛物线 y 。上由点 到点(2，2)的一段弧19 计算 zdxdyzdydz，其中 是圆柱面 x2y 2 1 被 z0 和 z3 所截得部分的外侧20 已知可导函数 f(x)满足 f(x)
4、1 tf(t)dt，求函数 f(x)21 判断级数 的敛散性.22 判断无穷级数 的敛散性四、综合题23 设函数 ，其中 (u)为可微函数证明： 。24 利用三重积分计算由 及 zx 2y 2 所围成的立体的体积25 证明：无穷级数 全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 11 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x，y) 的定义域应满足下列不等式综上所述函数 f(x，y)的定义域为(x，y)4x 2y 29)答案为 B2 【正确答案】 C【试题解析】 本题
5、考查函数取极值的必要条件 f(x,y)ax 2bxy ay2clnxdlny，则 ，由函数取极值的条件知 f(1，2)取极小值故a2b4a din2710ln2，即 5a26dln2 710ln2， 所以d10，5a 2b 7 联立 及 2a2bc0 得a1，b1， c4答案为 C3 【正确答案】 A【试题解析】 利用极坐标法计算答案为 A4 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查微分方程的特解 将选项 A、B 、C、D 中的函数，代入初始条件 ，可知只有选项 B、D 满足 令 f(x)e sinx， ，则有 f(x)e sinxcos x， ， 故 f(x)sin xe sinx.cos x
6、.sinxesinx.sin xf(x)lnf(x) 答案为 D。5 【正确答案】 D【试题解析】 此级数为 P 级数，根据其特点知，当 3P 1 时，即 P2 时该级数收敛答案为 D二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 -10【试题解析】 两向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a.B0由题意知(i2j 3k).(2j mj 6k)22m180 m107 【正确答案】 -1【试题解析】 8 【正确答案】 8【试题解析】 9 【正确答案】 C 1sin2xC 2cos2x【试题解析】 y“4y0，特征方程为 r240， r2i，则通解为C1sin2xC 2
7、cos2x10 【正确答案】 ln(1x)【试题解析】 本题考查幂级数的和函数f(x)1xx 2(1) nxn(1x1)，所以 ，两边积分得 f(x)ln(1x) (1x1)因为幂级数 在 x1 处收敛，f(x) 在 x1处有定义且连续，故 f(x)ln(1x) 在 x1 处也成立三、计算题11 【正确答案】 本题考查空间中两点之间的距离轨迹设满足题意的点为P(x，y，z) ，则应有 APBPCP ， 即AP 2 BP 2CP 2 又AP 2(x3) 2(y 7)2(z 4) 2， BP 2(x5)2(y 7)2(z4) 2， CP 2(x 5) 2(y1) 2(z 4) 2， 由AP 2BP
8、 2CP 2 化简得 5xy 4z21，从而所求点的轨迹为12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 l 的方向单位向量 l(cos，cos)(cos60 ，cos30)15 【正确答案】 本题是有关方向导数的问题 uxyz，u y xz，u zxy，u x(1，0，1)0，u y(1，0， 1)1，u z(1，0，1)0 由空间解析几何知识知，由点(1，0，1)到点(3，1，3)的直线 l 的方向余弦为：因此， u x(1，0，1)cosu y(1，0，1)cosu z(1，0，1)cosy 16 【正确答案】 中，面积分区域如图示阴影：17 【正确答案】 积分域关于三个坐标
9、面都对称，且被积函数是 x、y、z 的偶函数，记 1 为 位于第一卦限的部分，则18 【正确答案】 19 【正确答案】 原积分 由于曲面(如下图所示)与 xOy 面垂直，所以在 xOy 面上投影的面积为零，故zdxdy0 下面计算曲面积分 xdydz将分成前后两片： 1 2，由的方程 x2y 21(0x3)得， 1 的方程为x (1y1)； 2 的方程为 x (1y1) 1 和 2 在 yOz 面上的投影均为矩形区域 Dyz： 1y1，0z3 由于 1 和 2 的法向量分别指向其投影坐标面 yOz 面的上、下方，故化为二重积分时分别取正号和负号于是其中由定积分的几何意义得20 【正确答案】 由 f(x)1 0xf(t)dt，两边同时求导得：21 【正确答案】 令 ，所以 f(x)是 1， 上的单调减函数，且 ， 故由莱布尼兹定理，知原级数收敛 另一方面，因为 且 发散，故原级数非绝对收敛，所以，原级数条件收敛22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 24 【正确答案】 本题考查三重积分的计算用柱面坐标计算，显然两曲面的交线为： x 2y 21(z1) 它在 xOy 平面上的投影为：x 2y 21(z0) 所以Dxy：02 ，0r1 又 r2xr25 【正确答案】
