1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 12 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设函数 f(x， y)在(x 0，y 0)处偏导数存在，则 fx(x0，y 0) ( )2 设 f(x，y)在点(x 0，y 0)处偏导数存在，则 ( )（A）2f x(x0， y0)（B） fx(x0，y 0)（C） fx(x0，y 0)（D） f(x0，y 0)3 设 f(u)是连续函数，区域 D：x 2y 21，则二重积分 ( )4 微分方程 yx 2ycosx 是 ( )（A）一阶线性非齐次微分方程（B）一
2、阶线性齐次微分方程（C）二阶微分方程（D）可分离变量方程5 若 ，k 是常数，则级数 ( )（A）收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 k 值有关二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设函数 z arctan(xy)，则 _7 设 uf(x)可导，则复合函数 uf(xyz)的全微分 du_8 已知 sinxdxcosydy 是某个函数 u(x，y)的全微分，则 u(x，y)_9 微分方程 是_方程10 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在，) 上表达式为，s(x)是 f(x)的傅里叶级数的和函数，则 s()_三、计算题11 设平面 过点 P1(1，2，1)
3、和点 P2(5，2，7)，且平行于 y 轴，求平面 的方程。12 设 13 设函数 ，求全微分 dz14 求抛物面 z3x 24y 2 在点(0，1，4) 处的切平面方程15 求曲面 x2y 22z 223 在点(1，2，3) 处的切平面方程16 I (x2 y2)dv， 是由曲面 x2y 22z 及平面 z2 围成的区域17 计算三重分 zdxdydz，其中 是由曲面 zx 2y 2，z0 及 x2y 21 所围区域18 把对坐标的曲线积分 LP(x，y)dxQ(x，y)dy 化成对弧长的曲线积分，其中 L 为：沿上半圆周 x2y 22x 从点(0，0)到点(1，1) 19 计算对坐标的曲线
4、积分 (13y)dx(12xy)dy，其中 C 为区域D：x1，y1 的正向边界曲线20 求微分方程 的通解21 判断无穷级数 的敛散性22 求幂级数 的收敛半径和收敛域四、综合题23 求函数 f(x，y)x 2xyy 26x3y 的极值24 设 为曲面 x2y 2az 与 (a0)所围的封闭区域，求 的表面积25 将函数 展开为 x 的幂级数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 12 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据偏导数的定义可得出答案答案为 A2 【正
5、确答案】 A【试题解析】 答案为A3 【正确答案】 B【试题解析】 答案为 B4 【正确答案】 A【试题解析】 由一阶线性微分方程的定义即知答案为 A5 【正确答案】 D【试题解析】 若 k0，则 收敛，否则发散，故 的收敛性与 k 有关答案为 D二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 7 【正确答案】 yzf(xyz)dx xzf(xyz)dy xyf(xyz)dz【试题解析】 由题得8 【正确答案】 cosxsinyC【试题解析】 根据全微分的定义， ，则 u(x,y)sinxdxcosydycosxsiny C9 【正确答案】 一阶可分
6、离变量【试题解析】 本题考查微分方程的定义 由可分离变量微分方程的定义可知， ， 所以该方程为一阶可分离变量方程10 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)是周期为 2 的周期函数，可得 x 为 f(x)的间断点，根据狄里克雷收敛准则，可得 f(x)的傅里叶级数在 x 处收敛于三、计算题11 【正确答案】 设平面 为 AxByCzD0 平行于 y 轴 A，B，C).0，1， 0)0 得 B0 点 P1(1，2，1) 和 P2(5，2，7)在平面 上 所以所求平面 ： 4x3z 1012 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 z x6x， zy8y，z x(0，1)0，z y
7、(0，1)8 故取法向量n0， 8， 1 切平面方程为 0.(x0)8(y 1)(z4)0 即 8yz415 【正确答案】 设 F(x，y，z)x 2y 22z 223 F(1 ，2，3)2x p02 Fy(1，2，3) 2yp 04 F(1，2，3)4z P 012 所求平面方程为 2(x1)b4(y 2) 12(z3) 0 即 x2y6z2316 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 本题考查曲线积分的应用19 【正确答案】 由格林公式 C(13y)dx(12xy)dy d(2)(3)dxdy Ddxdy20 【正确答案】 线性微分方程的特点是其中的未知函数及其导数都是一次
8、方，本题中的 y 及其导数 y都是一次方，故为一阶线性微分方程原方程变形为，Q(x)x按一阶线件微分方程的通解涌公式得 所以原万程的通解为 yx 2( lnxC)注：这类方程的解法有两种，一种是将其化为标准形式：P(x)yQ(x) ，找出方程中的 P(x)、Q(x) ，按一阶线性微分方程的通解公式：ye p(x)dx Q(x)ep(x)dxdxC求解；另一种方法是利用常数变易法求解此题也可用常数变易法求解21 【正确答案】 22 【正确答案】 级数的收敛半径为 对 x2，原级数成为发散 对 x2，原级数成为是交错级数，由莱布尼茨判别法菇该级数收敛。 级数 的收敛半径为 2。收敛域是一 2,2)四、综合题23 【正确答案】 得驻点(3，0) f xx(x，y)2 f xy(x，y)1 f yy(x，y)2 而 B2AC1430 A20 f(x，y)在(3，0)处取得极小值为 f(3，0)924 【正确答案】 本题考查曲面积分的求解由于表面由抛物面与锥面两部分构成记抛物面部分面积为 S1，锥面部分面积为 S2，则 SS 1S 2故 SS 1S 225 【正确答案】
