1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 13 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 点 P(2，1，一 1)关于 X 轴的对称点是 ( )（A）(一 2，一 1，一 1)（B） (一 2，一 1，1)（C） (2，一 1，一 1)（D）(2 ，一 1，1)2 函数 f(x，y)= 在(0，0)点 ( )（A）不连续（B）连续（C）可微（D）偏导数存在3 设 D 是平面上以 A(1，1)，B(一 1，1)和 C(一 1，一 1)为顶点的三角形，D 1 是它的第一象限部分，则 (xy+cos xsin
2、 y)dxdy= ( )4 若某二阶常系数微分方程的通解为 y=C1e-x+C2，则该微分方程为 ( )（A）y“+y-2y=0（B） y“+2y=0（C） y“+y=0（D）y“-y一 2y=05 设 0unvn(n=1，2，) ，且无穷级数 ( )（A）发散（B）无法判断（C）条件收敛（D）绝对收敛二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 若向量 a， b，c 两两的夹角都为 ，且|a|=2 ，|b|=1，|c|=3 ，则|a+b+c|=_7 Oxy 坐标面上的椭圆 绕 y 轴旋转所形成的旋转面的方程是_8 已知 z=f2(xy2)，其中 f 为可微函数，则 =_9
3、过点(1 ，4，一 1)并且平行于 Oyz 坐标面的平面方程为_10 已知 z=f(x+y，xy)，其中 f 为可微函数，则 dz=_三、计算题11 求与点 P1(3，一 1，2)和点 P2(5，0，一 1)的距离都相等的动点轨迹方程12 设方程 sin(x2+y2+z2)一 xz=1 确定函数 z=z(x，y) ，求13 求函数 u=xyz，在点(5，1，2)处沿从点(5，1，2)到点(9，4，14)的方向的方向导数14 令 z=xy，而 x=sin t，y=cos t，求15 求直线 的对称方程16 计算 D：x 2+y2117 求函数 z=xy 在条件 x+y=1 下的极限18 计算 +
4、xzdydz+x2ydxdz，其中是由旋转抛物面 z=x2+y2，圆柱面x2+y2=1 和坐标平面在第一卦限中所围曲面的外侧，如下图所示19 求微分方程 x(1)=1，x(1)=0 的解20 已知级数 是绝对收敛21 求幂级数 的和22 将函数 f(x)=ex 展开成(x+2)的幂级数四、综合题23 设 f(x)在0，1上连续，试证 01ef(x)dx01e-f(y)f(y)dy124 设平面薄板所占 Oxy 平面上区域 D，其中 D 是由曲线 y=x，x=3 所围成，薄板上每一点的密度等于该点的纵坐标，求该薄板的质量25 求曲面 x2+y2+z=4 将球体 x2+y2+z24z 分成两部分的
5、体积之比全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 13 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 设点 P(2， 1，一 1)关于 x 轴的对称点是 P0(x，y，z)，则 P 与 P0 连线的中点为(2，0，0) ，所以 =2，0，0 ，解之得 x=2，y=一1，z=1因此所求对称点的坐标为(2，一 1，1)2 【正确答案】 B【试题解析】 故 f(x，y)在(0，0)点连续3 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域如右图所示，连结 BO，把 D 分成 D2D3，因 D2
6、关于 y 轴对称，被积函数 xy 对 x 为奇函数，故 又 D2 关于 x 轴对称，被积函数xy+cos xsin y 为 y 的奇函数，故4 【正确答案】 C【试题解析】 y“+y=0 的特征方程为 r2+r=0，故 r1=0，r 2=一 1，故通解为 y=C1e-x+C25 【正确答案】 A【试题解析】 v nun0，由比较判别法，二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 5【试题解析】 只需求出|a+b+c| 2设向量 a 与 b 的夹角为 ab，则 由已知条件|a|=2，|b|=1，则 a.b=|a|.|b|.cosab= 同理 a.c=3，b.c=
7、 于是|a+b+c|2=(a+b+c).(a+b+c)=a2+b2+c2+2a.b+2a.c+2b.c=25，即|a+b+c|=5 7 【正确答案】 【试题解析】 由教材知绕 y 轴旋转时 y 保持不变。而将 x 换为8 【正确答案】 4xyf(xy 2)f(xy2)【试题解析】 =2f(xy2)f(xy2).2xy=4xyf(xy2)f(xy2)9 【正确答案】 x 一 1=0【试题解析】 因为所求的平面平行于 Oyz 坐标面，故设其方程为 Ax+D=0，又因为该平面过点(1，4，一 1)所以 A+D=0，即 A=一 D，因此所求平面方程为 x 一1=010 【正确答案】 (f 1+yf2)
8、dx+(f1+xf2)dy【试题解析】 三、计算题11 【正确答案】 设动点为 P(x,y，z)因|PP 1|=|PP2|化简后得，所求轨迹方程为：2x+y 一 3z 一 6=012 【正确答案】 令 F(x，y，z)=sin(x 2+y2+z2)-xz 一 1，则 Fx=2xcos(x2+y2+z2)一z，F y=2ycos(x2+y2+z2)，F z=2zcos(x2+y2+z2)一 x，13 【正确答案】 14 【正确答案】 =yxy-1.cos t+xylnx.(一 sint)=yxy-1cos txyln x.sin t=(sint)cost-1cos2t 一(sint) 1+cos
9、t ln sin t15 【正确答案】 由直线方程，直线的方向向量为令 z=1，可得x=12， y=18，即直线过点(12，18，1)16 【正确答案】 积分区域 D 关于 x、y 轴均对称，被积函数 |x|+|y|关于 x、y 均是偶函数，利用对称性17 【正确答案】 构造拉格朗日函数 L=xy+(x+y 一 1)，解方程组是可疑的极值点，经验证18 【正确答案】 P=xz，Q=x 2y，R=y 2z，19 【正确答案】 解之得 x2=1一(t+C 2)2 再将 x(1)=1 代入上式得 C2=一 1，所以方程的特解为 x2=1 一(t 一 1)220 【正确答案】 均收敛，故原级数绝对收敛21 【正确答案】 22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 24 【正确答案】 由于 D=(x，y)|1x3， yx)，所以25 【正确答案】 由 得 z=1，z=4(两曲面的切点)，两曲面的交线为 如右图所示，两曲面所交的体积为 V1 和 V2
