1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 14 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 点 P(2，4，一 1)关于 Oyz 坐标面的对称点是 ( )（A）(一 2，4，一 1)（B） (2，4，1)（C） (一 2，一 4，一 1)（D）(2 ，-4，一 1)2 设向量 a=2，1，一 1与 y 轴正向的夹角为 ，则 满足 ( )3 方程 代表的图形是 ( )（A）直线（B）双曲线（C）抛物线（D）椭圆4 已知 f(x，y)在点(x 0，y 0)的偏导数存在，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x，
2、y)在(x 0，y 0)点连续（B）函数 f(x，y 0)在 x=x0 处连续（C） f(x，y)在(x 0，y 0)点有任意方向的方向导数（D）f(x，y)在(x 0，y 0)点可微5 设函数 z=x2+xy+y，则全微分 dz= ( )（A）(2x+y)dx+xdy（B） ydx+(x+1)dy（C） (2x+y)dx+(x+1)dy（D）2xdx+xdy二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 u=f(x)可导，则复合函数 u=f(xyz)的全微分 du=_7 已知向量 =k，2，一 1和 =2，一 1，2垂直，则常数 k=_8 设 L 是 A(1，0)，B(0
3、，1) 之间的直线段，则 I=L(x+y)ds=_9 级数 的收敛域为_10 微分方程(x 2 一 1)dy+(2xycos x)dx=0 满足初始条件 y|x=0=一 1 的特解为_.三、计算题11 将积分区域 D 对应的二重积分 I= 按两种次序化为二次积分，D 是由抛物线 y=x2 及 y=4 一 x2 所围的区域12 求平面 z=x 介于平面 x+y=1，y=0 和 x=0 之间的阴影部分的重心坐标13 在球面坐标系下，计算三重积分 其中积分区域 为2x2+y2+z24214 计算 (x2 一 x+2y+2)d，其中 D：x 2+y2a215 把对坐标的曲线积分 LP(x，y)dx+Q
4、(x ，y)dy 化成对弧长的曲线积分，其中 L 为沿上半圆周 x2+y2=2x 从点 (0，0)到点(1，1)16 求由 x2 一 2x+y2=0，z= 与 z=0 所围成的立体的体积17 计算对弧长的曲线积分 ，其中 C 是圆周 x2+y2=118 计算 其中 C 为椭圆 按逆时针方向旋转一周.19 验证：在整个 Oxy 面内，xy 2dx+x2ydy 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数20 利用高斯公式计算曲面积分 (xy)dxdy+(y-z)xdydz，其中为柱面 x2+y2=1 与平面 z=0，z=3 所围立体的外表面21 计算22 计算对面积的曲面积分 其中为球面 x2+y2
5、+z2=a2(a0)四、综合题23 在一长宽高之和为一常数 C 的长方体中，求出一个具有最大体积者24 将函数 f(x)= 展开为(x+1) 的幂级数25 求由平面 x=0，y=0 ，z=0，x+y=1 及抛物面 z=x2+y2 所围成的曲顶柱体的体积全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 14 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 设点 P(2， 4，一 1)关于 Oyz 坐标面的对称点为 P0(x0，y 0，z 0)，则x0=一 x，y 0=y，z 0=z，故 P0
6、(一 2，4，一 1)2 【正确答案】 B【试题解析】 设 y 轴正向的向量为 b=(0，y，0)(y0)，故 cos (0， +)3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 x2+y2-2x=0 即(x 一 1)2+y2=1，其表示平行于 z 轴的圆柱面，而x+z=1 表示平行于 y 轴的平面，显然它们的交线是一个椭圆4 【正确答案】 B【试题解析】 F(x)=f(x， y0)是关于 x 的一元函数，从而 F(x0)=fx(x0，y 0)是存在的，由于一元函数偏导存在则连续，因此 F(x)在 x=x0 处连续5 【正确答案】 C【试题解析】 函数 z=x2+xy+y，则 zx=2x+y，z y=
7、x+1，故全微分 dz=(2x+y)dx+(x+1)dy二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 yzf(xyz)dx+xzf(xyz)dy+xyf(xyz)dz【试题解析】 故 du=yzf(xyz)dx+xzf(xyz)dy+xyf(xyz)dz7 【正确答案】 2【试题解析】 、 垂直则必有 .=0，即k ，2，一 1.2，一 1，2=2k 一 22=0，即 k=28 【正确答案】 【试题解析】 AB 间的线段表示为 x+y=19 【正确答案】 (一 3，一 1)【试题解析】 收敛半径 R=1，当 x=一 1 时，级数为 发散，当 x=一 3 时，级数
8、 发散，则级数收敛域为(一 3，一 1)10 【正确答案】 x 2y-ysin x 一 1=0【试题解析】 将所给微分方程改写成(x 2dy+2xydx)一 dycos xdx=0，即 d(x2yysin x)=0所以，所给微分方程通解为 x2yysin x=C，由 y|x=0=一 1 得 C=1，故满足初始条件的特解为 x2yysin x 一 1=0三、计算题11 【正确答案】 画出积分区域 D，如右图所示12 【正确答案】 平面 z=x 这部分的面积13 【正确答案】 利用球面坐标系有 ：02，0，r2，故原式=.r2sindrdd=02d0d2rcosr.sindr=2.0sind2rd
9、(sinr) =22rsin r+cosr|2=814 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 积分区域 D：(x 一 1)2+y21，0z 由柱面坐标法得17 【正确答案】 x 2+y2=1，原式=18 【正确答案】 椭圆的参数方程为 t 从 0 变到 2，于是19 【正确答案】 令 P=xy2，Q=x 2y，且 在整个 Oxy 面内恒成立，因此在整个 Oxy 面内，xy 2dx+x2ydy 是某个函数的全微分取积分路线如右图所示，所求函数为 u(x，y)= (0,0)(x,y)xy2dx+x2ydy=OAxy2dx+x2ydy+ABxy2dx+x2ydy =0+0yx2ydy=x20yydy=20 【正确答案】 P=(yz)x ，Q=0，R=xy， 故原式=21 【正确答案】 =01(xex+ex)dx=01xexdx+01exdx=xex|01-01exdx+01exdx=e22 【正确答案】 在 Oxy 面上投影为 D：x 2+y2a2在 Oxy 面上投影为 D：x 2+y2a2四、综合题23 【正确答案】 设长方形的长宽高分别为 x，y，z，则体积 V=xyz，x+y+z=C，构造拉格朗日函数 F(x，y，z，)=xyz 一 (x+y+zC)，令根据实际意义知，x=y=z= 体积最大24 【正确答案】 25 【正确答案】
