1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 16 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 B 是圆形区域 x2+y24，则二重积分 ( )（A）4（B） （C）（D）2 设积分区域 ：x 2+y2+z2R2，则三重积分 f(x，y，z)dxdydz，在球坐标系中的三次积分为 ( )（A） 02d0d0Rf(x,y,z)r2sindr（B） 02d0d0Rf(rcossin ，rsin sin，rcos )r 2sin dr（C） 02d0d0Rf(rcossin，rsin sin，rcos)rsin
2、 2dr（D） 02d0d0Rf(rcossin，rsinsin ，rcos)dr3 记 其中D1=(x，y)|x 2+y21)，D 2=(x，y)|1x 2+y22)，D 3=(x，y)|2x 2+y24)，则下列关系式中_成立 ( )（A）I 2I 3 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 2 I14 设空间闭区域 1=(x， y，z)|x 2+y2+z21，z0， 2 为区域 1 在第一卦限的区 域，则有 ( )5 设 AB 为从点 A(1，0)沿曲线 到点 B(0，1)的弧段，则下列等式正确的是 ( )（A）（B） ABf1(x，y)dx+f 2(x， y
3、)dy= +f2(x，y)dy ，其中的 f(x，y)是连续函数，f 1(x， y)，f 2(x，y) 是有连续偏导数的函数（C）（D） ABf1(x，y)dx+f 2(x，y)dy=二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 向量 与 z 轴的夹角 =_7 设 z=esinxy，则 dz=_8 设 D 是由 x2+y2=1(y0)，y=0 所围成的区域，则9 微分方程 yy+x=0 的通解为_10 幂级数 在(一 1，1)上的和函数是_三、计算题11 求过点(2 ，3，一 2)并且与平面 2x+y+z 一 3=0 垂直的直线方程12 设 求 dz13 求函数 f(x，y，
4、z)=x 2yz+yz 在点(一 1，1，2)处的梯度14 计算二重积分 其中 B 是由 y=x2，y=x 所围成的区域15 计算三重积分 其中积分区域 是由 x=0，y=0，z=0 及 x+y+z=1 所围成16 求17 求曲面 z=xy 上点(1 ，2，1)处的法线方程18 已知可导函数 f(x)满足 f(x)=2+0xtf(t)dt，求函数 f(x)19 求微分方程 y“+3y+2y=e-x 的通解20 求幂级数 的收敛域21 求微分方程 xy+y=x2 满足初始条件 y(1)=1 的特解22 f(x)是周期为 2 的函数，它在 一 1，1上表达式为 f(x)= 则f(x)展开成傅里叶级
5、数在 x=1 处收敛于多少四、综合题23 设 z=y+F(u)，u=x n 一 yn，其中 F 是可微函数，证明24 求曲面 z=xy 包含在圆柱 x2+y2=1 内部分的曲面面积 S25 将函数 f(x)=xarctan(x 一 1)一 arctan(x 一 1)展开为 x 一 1 的幂级数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 16 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 x=rcos，y=rsin ，则 02，0r2，故2 【正确答案】 B【试题解析】 球坐标中
6、体积元素为 r2sinddrd，直角坐标与球坐标关系综合，B 正确3 【正确答案】 D【试题解析】 由在 D1 上 (等号仅在圆周 x2+y2=1 上取到)知，I10；由在 D2 上-1 知I3一 于是有 I3I 2I 14 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域 1 关于 Ozy 对称，三重积分 的被积函数 x 是奇函数，故5 【正确答案】 A【试题解析】 如果将 L 的参数方程表示为 于是B 不正确，因为 Lf1(x，y)dx+f 2(x，y)dy 未必与积分路径无关二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 7 【正确答案】 ycos(xy
7、)e sinxydx+xcos(xy)esinxydy【试题解析】 8 【正确答案】 0【试题解析】 此时积分区域 D(如右图所示)关于 y 轴对称，被积函数 xy 关于 x 是奇函数，从而9 【正确答案】 x 2+y2=C【试题解析】 分离变量再积分得ydy=一xdx，得通解为 x2+y2=C10 【正确答案】 ln(x+1)【试题解析】 f(x)=1 一 x+x2+-+(一 1)nxn+-(一 1x1)， f(x)=ln(1+x) (一 1x1)因为幂级数 在 x=1 处收敛，f(x) 在 x=1 处有定义且连续，三、计算题11 【正确答案】 所求直线的方向向量为2，1，1，所以所求直线方
8、程为12 【正确答案】 13 【正确答案】 故gradf(-1，1， 2)=(一 4，4，2)14 【正确答案】 B 可表示为0x1，x 2yx，由此将二重积分化为累次积分15 【正确答案】 16 【正确答案】 因关于 x、y、z 对称，故17 【正确答案】 令 F(x，y，z)=z 一 xy，则18 【正确答案】 由 f(x)=2+0xtf(t)dt，两边同时求导得：19 【正确答案】 特征方程 r2+3r+2=0，方程解 r1=一 1，r 2=一 2，通解为 =C1e-2x+C2e-x 故 =一 1 是方程齐次方程的特征根，则可设特解为 y*=Axe-xy=Ae-x 一Axe-x， y“=
9、一 2Ae-x+Axe-x，代入原方程得(一 2Ae-x+Axe-x)+3(Ae-x 一 Axe-x)+2Axe-x=e-x，化简得 Ae-x=e-x，故 A=1，所以原方程的一个特解 y*=xe-x，于是原方程的通解为 y=C1e-2x+C2e-x+xe-x20 【正确答案】 ，收敛半径 R=1，故一1x11，即 0x2，幂级数收敛当 x=0 时， 当 x=2 时，收敛，故原级数收敛域为0，221 【正确答案】 先化为一般形式 由一阶线性微分方程的通解公式有22 【正确答案】 根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在周期的端点 x=1 处收敛于f(一 1+)+f(1-)=四、综合题23 【正确答案】 24 【正确答案】 设所求曲面面积为 S，该曲面在 Oxy 坐标面上的投影D：x 2+y2125 【正确答案】
